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1、一道高考题解法的探究,08年浙江卷（理科）17题 若 ，且当 时，恒有 则以 为坐标的点 所形成的平面区域的 面积等于,析题： 本题知识点：线性规划问题、恒成立问题、区域面积问题 思想方法：化归与转化、分类与整合、数形结合 难点：三类问题的结合，学生很难把握，见得少， 而且联系难 此题主要考查学生思维的灵活性、多样性，以及综合运用知 识分析、解决问题的能力。 此题主要从两方面:一是将不等式恒成立问题转化成函数的最 值问题；二是将区域面积转化成字母取值范围问题。解题的 切入点是紧扣已知条件 ，落脚点是确定 a,b的取值范围。,解法1 目标函数法 设目标函数 ，当 时， 故只需 当 则 由 的约束
2、条件作出可行域（如图），若 则 在A点取得最大值， 若 则 在B点 取得最大值， 若 ，则 综上 故所求区域面积,解法探究,根据目标函数的几何性质，通过数形结合寻找最优解，这是解决线性规划问题的常规方法。但本题的目标函数含有两个参数a,b，需要分类讨论确定函数最值，有一定的难度。,如图，画出点 的可行域，因为 恒成立，即 在可行域中恒成立，则 否则可行域中总 存在不满足题意的点。故 点 所形成的平面区域为边长 1的正方形，其面积,解法2 解析法,解析法是处理线性规划问题最常用、有效的方 法，在坐标轴上两个截距 的构造，将可 行域与恒成立问题统一起来，从而使问题得以 解决，截距的构造是解题的关键
3、。,设 当 时， 当 时， 所以 即点P（a,b）所形成的平面区域为边长1的正方形，其面积S=1.,解法3 三角换元法,此题的难点也在于变量太多，通过三角换 元，可以减少变量，降低题目的难度。同 时借助三角函数的有界性，可以确定点P 所形成的平面区域。,设向量 则 （ 为两向量的夹角），当向量 在 上的投影 最大时， 取最大值。由 的约束条件作出可行域（如图）。 若 当点N为可行域的点B时， 最大， 此时 若 当点N为可行域的点A时， 最大， 此时 若 综上 故所求区域面积S=1.,解法4 向量法,此题在没有向量存在的的情境下，很难将 看作是两向量的数量积，这是创新意识诱导下的一种很独特的数学
4、视角。向量法充分运用向量数量积的代数与几何特征，借助向量数量积的几何意义，巧妙地将求目标函数最值的代数问题转化为几何问题，很好地展示了向量在解决数学问题中的重要工具作用。,由柯西不等式得： 当且仅当 时， 成立；由图可知， 当且仅当 故 当且仅当 时，两个 同时成立， 当 此时 当 此时 综上 故所求区域面积S=1.,解法5 柯西不等式,用柯西不等式解决 的最值问题是一种新思路、新方法，柯西不等式历史悠久，形式优美，结构巧妙，它和基本不等式一样都是研究最值问题的有力工具。柯西不等式的应用灵活多样、技巧性强，它的应用有利于学生开阔数学视野、培养创新思维，激发学生进一步学习数学的兴趣 。,通过一题多解教学，要让学生在掌握基础知识、基本方法、基本技能的前提下，学会从多个角度提出新颖独特的解决问题的方法，培养他们解决问题的实践能力，发展他们的创新思维，使他们具有敏锐的观察力、创造性的想象、独特的知识结构以及活跃的灵感等思维素质。在解题中引导学生打破常规、独立思考、大胆猜想、质疑问难、积极争辩、寻求变异、放开思路、充分想象、巧用直观、探究多种解决方案或途径，快速、简捷、准确地解决数学问题， 这些也是探究性学习的体现。 以上是个人的一点体会，还请大家多多指教！,
