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1、机器人学,战 强,北京航空航天大学机器人研究所,第五章、机器人动力学,第五章、机器人动力学,机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。,机器人动力学的用途： 机器人的最优控制；优化性能指标和动态性能、调整伺服增益； 设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩； 机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真。,动力学方法很多，如Lagrange、Newton-Euler、Gauss、Kane、Screw、Roberson-Wittenburg。,机器人是一个具有多输入和多输出的复杂的动力学系统， 存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。,动力学的原问题：给定力/力矩，求解
2、机器人的运动； 是非线性的微分方程组，求解困难。 动力学的逆问题：已知机器人的运动，计算相应的力/力矩， 即实现预定运动所需施加的力矩；不求解 非线性方程组，求解简单。,5.1 Lagrange动力学方法,Lagrange法：能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程， 而且具有显式结构。,Lagrange函数L定义：任何机械系统的动能 和势能 之差,动能和势能可以用任意选取的坐标系来表示，不局限于笛卡儿坐标,则该机械系统的动力学方程为：,（5-1）,假设机器人的广义坐标为,广义速度,将,代入到（5-1）式中：,（5-2）,例：图示R-P机器人，求其动力学方程。,1、质心的位置和速度,为了写
3、出连杆1和连杆2（质量 和 ）的动能和势能，需要 知道它们的质心在共同的笛卡 儿坐标系中的位置和速度。,质心 的位置是,速度是,速度的模方是,笛卡儿Cartesian(Latin)ka:ti:zjn Descartesdeika:t: 法国哲学家、 数学家、物理学家，1596-1650，将笛卡尔坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。,质心 的位置是,速度是,速度的模方是,2、机器人的动能,4、机器人的动力学方程,根据式5-2，分别计算关节1和关节2上的力/力矩,3、机器人的势能,关节1上的作用力,关节2上的作用力,该R-P机器人的动力学方程为：,该方程表示关节上的作用力与各连杆运动之间的关系,
4、加速度部分 速度部分 位置部分,4、Lagrange动力学方程的一般形式,惯性力项,向心力项,哥式力项,重力项,对照可得：,有效惯量对于移动关节是质量，对于转动关节是惯性矩,机器人的有效惯性量和耦合惯性量，随机器人的形态变化而 变化，跟负载、机器人是自由状态/锁死状态有关，变换范围 大，对机器人的控制影响巨大。对于一个机器人的控制而言， 需要计算出各个有效惯量、耦合惯量与机器人位置形态之间 的关系。,假设R-P机器人的实际参数为：,例:,重力负载变化极大，在垂直状态是零，在水平时是最大（196）对机器人控制影响很大，在实际中采用平衡的方法或前馈补偿的方法。,Lagrange动力学方法的基本步骤
5、： 1、计算各连杆的质心的位置和速度； 2、计算机器人的总动能； 3、计算机器人的总势能； 4、构造Lagrange函数L； 5、推导动力学方程。,5.2 惯性矩阵、惯性积和惯性张量,在R-P机器人的例子中假设各连杆的质量集中在一点，实际上各 连杆的质量是均匀分布的，对于这种情况存在几个特殊的公式。,1、图示均质刚体，绕X、Y、Z轴的惯性矩阵定义为：,A,2、惯性积（混合矩）定义为：,3、对于给定的坐标系A，惯性张量定义为,惯性张量跟坐标系的选取有关，如果选取的坐标系使各惯性积 为零，则此坐标系下的惯性张量是对角型的，此坐标系的各轴 叫惯性主轴，质量矩叫主惯性矩。,相对于某一坐标系的 质量分布
6、的二阶矩阵， 表示物体的质量分布,刚体质量和分布的一阶矩阵定义为：,4、伪惯性矩阵定义为,质量分布的一阶矩和二阶矩的向量组成,伪惯性矩阵与惯性张量之间的关系为：,相对于原点的惯性矩,伪惯性矩阵与选取的坐标系有关，如果选取 的坐标系的原点在刚体的质心，且选取坐标 轴的方向使, 则此坐标系称为 刚体的主坐标系,伪惯性矩阵为对角型的.,例：如图示坐标系，求密度为 的均匀长方体 的惯性张量和伪惯性矩阵。,A,解： 长方体的质量为 质心坐标为 惯性矩为,惯性张量为,惯性积为,伪惯性矩阵为,惯性张量和伪惯性矩阵代表刚体质量分布相对于某一坐标系 的二阶矩和一阶矩，具有下列特点： 1）所有惯性矩恒为正，惯性积
7、可正可负； 2）当坐标系方位改变时， 不变； 3）惯性张量的特征值和特征矢量分别为刚体相应的主惯性矩 和惯性主轴。,5.3 Newton-Euler动力学方法,达朗贝尔原理：对于任何物体，外加力和运动阻力（惯性力）在 任何方向上的代数和为零。将静力平衡条件用于动力学问题。,1）、牛顿第二定律（力平衡方程）：,连杆 i的质量,连杆 i质心的线速度,作用在连杆 i上的外力合矢量,1、达朗贝尔原理,一个刚体的运动可分解为固定在刚体上的任意一点的移动以及该 刚体绕这一点的转动两部分,因此达朗贝尔原理可表示成两部分:,作用在连杆i上的合力等于连杆i的质量与质心加速度的乘积,作用在连杆i上的合力矩与连杆i
8、质心的角加速度、角速度 和惯性张量之间的关系,达朗贝尔原理将静力平衡条件用于动力学问题，既 考虑外加驱动力又考虑物体产生加速度的惯性力。,2）欧拉方程（力矩平衡方程）：,连杆 i在坐标系C中 关于质心的惯性张量,连杆 i的角速度,作用在连杆i 上的 外力矩合矢量,角动量,陀螺力矩,2、力和力矩的递推公式,在静力学分式中得到了力和力矩的平衡方程式,连杆i处于平衡状态时，所受合力为零，力平衡方程为,力矩平衡方程为,连杆i在运动的情况下，作用在i的合力为零，得力平衡式 （不考虑重力）：,作用在质心上的外力矩矢量合为零，得力矩平衡式 （不考虑重力）：,写成从末端连杆向内迭代的形式：,与静力递 推不同的
9、 是考虑了 惯性力和 力矩,i坐标系,各关节上所需的扭矩等于连杆作用在它相邻连杆的力矩的Z轴分量,对于移动关节，关节驱动力为,对于转动关节，关节驱动力为,操作臂在自由空间运动时，末端力的初值选择为,操作臂与外部环境有接触时，末端力的初值选择为,3、递推的Newton-Euler动力学算法,算法分两部分：1）外推：从连杆1到n递推计算各连杆的速度和加速度；2）内推：从连杆n到连杆1递推计算各连杆内部相 互作用的力和力矩及关节驱动力和力矩。,1）外推计算各连杆速度和加速度，i:0n：,转动关节i+1,移动关节i+1,转动关节,移动关节,转动关节,移动关节,2)向内递推力、力矩, i: n 1：,4
10、、考虑重力的动力学算法,令,即机器人基座受到的支撑作用相当于向上的重力,加速度g，这样处理将各连杆重力的作用都包含在其中了，与 各连杆重力的影响完全一样，因此使计算简便。,转动关节,移动关节,Newton-Euler动力学算法有两种用法： 1）数值计算：已知连杆质量、惯性张量、质心矢量等 2）封闭公式：即用关节变量、关节变量的速度和加速度表示的关节力的封闭形式,例：,2R机械手如图所示，两杆质量集中在连杆末端。,Newton-Euler递推公式中的运动学和动力学参数分别为：,两杆质心矢径：,相对质心的惯性张量：,末端执行器的作用力：,基座的运动（静止）：,重力作用：,可比较重力和惯性力的影响大
11、小、向心力和哥氏力的影响,连杆之间的旋转矩阵为：,1）外推计算速度和加速度：,连杆1：,连杆2：,2）内推计算力和力矩：,连杆2：,连杆1：,两个关节的驱动力矩为：,以关节位置、速度和加速度为变量的关节驱动力矩表达式， 可以看出该2R机器人的封闭形式的动力学方程是比较复杂的，推论可知6自由度机器人的封闭形式的动力学方程会更复杂。,5、不同空间的动力学方程形式,前面推导的2R平面机械手的动力学方程可写成,质量矩阵 nn对称阵,离心力和哥氏力, n1,重力, n1,状态方程,关节空间的动力学方程,对于2R平面机械手，其质量矩阵D(q)为,是,的系数矩阵,对称和正定的，存在逆,与惯性力相关,关节空间
12、的动力学方程,状态量/关节变量,离心力：与关节速度的平方有关,哥氏力：与两个关节速度的乘积有关,离心力和哥氏力：,重力：,形位空间的动力学方程（系数都是操作臂位形的系数）,哥氏力系数矩阵,离心力力系数矩阵,与速度有关的项,操作空间动力学方程,机器人关节空间与操作空间存在如下关系：,速度关系：,位置关系：,加速度关系：,关节空间的动力学方程为：,操作空间的动力学方程为：,动能矩阵/直角坐 标系的质量矩阵,直角坐标系的 离心力和哥氏力,直角坐标 系的重力,广义 操作力,广义操作力矢和关节力矢之间的关系为：,将,代入,，再将F代入上式,再与,比对，得：,如果J(q)的逆存在，则也可表示为：,当机器人
13、接近奇异点时，操作空间动 力学方程中的某些 量趋于无限大，在 该方向的运动不可能，动态性能恶化,操作运动关节力矩方程,机器人动力学是研究机器人各关节输入力矩/力与 机器人输出运动之间的关系，因此经常考察操作运 动与驱动力矩/力之间关系。,和,联立，得,或,将,哥氏力系数矩阵,离心力力系数矩阵,两个系数矩阵从 展开式中得到，一般,5.4 Lagrange法和Newton-Euler法的比较,Lagrange法： 以最简单的形式求得复杂系统的动力学方程， 具有显式结构；计算效率比较低。好推难算,Newton-Euler法： 计算速度快，能够满足伺服系统的速率和 采样频率，便于实时控制，方程式中含有 相邻杆件之间的约束力，为了消除约束力 需附加计算，结构复杂。 难推好算,
