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1、第3章 导数及其应用,章末复习课,1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题. 2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函 数的导数. 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的 极值和最值. 4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一 在xx0处的导数,常数A,2.几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线 . 3.物理意义：瞬时速度、瞬时加速度.,斜率,知识点二 基本初等函数的求导公式,0,x1,cos x,sin x,axln a,ex,知识点三
2、 导数的运算法则,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),1.函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值与导数 (1)极大值：在xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值； (2)极小值：在xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.,知识点四 函数的单调性、极值与导数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,1.求函数yf(x)在
3、(a，b)内的 . 2.将函数yf(x)的各极值与 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别提醒 (1)关注导数的概念、几何意义 利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知，若切点未知，则设出切点，用切点坐标表示切线斜率. (2)正确理解单调性与导数、极值与导数的关系 当函数在区间(a，b)上为增函数时，f(x)0； f(x0)0是函数yf(x)在x0处取极值的必要条件.,知识点五 求函数 yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤,极值,端点处函数值 f(a)，f(b),题型探究,类型一 导数几何意义的应用,解答,f(x)x22ax9(xa)2a29， f(x)mina
4、29， 由题意知，a2910，a1或1(舍去). 故a1.,解答,由(1)得a1. f(x)x22x9， 则kf(3)6，f(3)10. f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)， 即6xy280.,(2)求f(x)在x3处的切线方程.,利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型.,反思与感悟,跟踪训练1 求垂直于直线2x6y
5、10并且与曲线yx33x25相切的直线方程.,设切点坐标为P(x0，y0)，函数yx33x25的导数为y3x26x，则切线的斜率为ky| 3x26x| 3x 6x0.,解得x01，y03，即P(1，3). 又k3，切线方程为y33(x1)， 即3xy60.,解答,类型二 函数的单调性与导数,例2 已知函数f(x)x3ax2x1，xR. (1)讨论函数f(x)的单调性；,解答,因为f(x)x3ax2x1， 所以f(x)3x22ax1. 当0，即a23时，f(x)0，f(x)在R上单调递增.,解答,(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价
6、. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法.,反思与感悟,解答,f(x)x2axb，,解答,由(1)得f(x)x2axx(xa)(a0)， 当x(，0)时，f(x)0； 当x(0，a)时，f(x)0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)， 单调递减区间为(0，a).,(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；,g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)， 使不等式g(x)x2ax20成立，,(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.,解答,类型三 函数的极值、最值与导
7、数,f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴， 由f(1)0，得ae.,解答,解答,(2)求f(x)的极值；,当a0时，f(x)0，yf(x)为(，)上的增函数， 所以yf(x)无极值； 当a0时，令f(x)0，得xln a. 当x(，ln a)时，f(x)0，yf(x)在(ln a，)上递增， 故f(x)在xln a处取得极小值f(ln a)ln a，无极大值. 综上，当a0时，yf(x)无极值； 当a0时，yf(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值.,(3)当a1时，直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求实数k的取值范围.,解答,令g(x)xex，则有g(x)(1x)
8、ex， 令g(x)0，得x1. 当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：,解得k(1e,1). 综上，k的取值范围为(1e,1.,(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义. (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负. (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.,反思与感悟,解答,f(x)3x23(1a)x3a3(xa)(x1)， 令f(x)0，解得x11，x2a， 因为a0，所以x1x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况见下表：,所以当x1时，f(x)有极大值2，即3a2b3.,解答,当0a3时，
9、由(1)知，f(x)在0，a)上为减函数， 在(a,3上为增函数，所以f(a)为最小值，,于是有a33a23a260，,类型四 导数与函数、不等式的综合应用,解答,f(x)x24ax3a2 (xa)(x3a). 令f(x)0，得xa或x3a. 当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,所以f(x)在(，a)和(3a，)上是减函数；在(a,3a)上是增函数. 当xa时，f(x)取得极小值，,当x3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值f(3a)b.,(2)若当xa1，a2时，恒有|f(x)|a，试确定a的取值范围；,f(x)x24ax3a2，其对称轴为x2a. 因为0a1，所以2aa1
10、. 所以f(x)在区间a1，a2上是减函数. 当xa1时，f(x)取得最大值，f(a1)2a1； 当xa2时，f(x)取得最小值，f(a2)4a4.,解答,(3)当a 时，关于x的方程f(x)0在区间1,3上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围.,解答,要使f(x)0在1,3上恒有两个相异实根， 即f(x)在1,2)，(2,3上各有一个实根，,不等式恒成立问题，关键是确定函数在给定区间的最值，这时往往需要分类讨论，函数的零点与方程根的问题，注意数形结合思想的应用.,反思与感悟,解答,当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，).,解答,所以g(x)在(1，)上是增函数.,当堂训练,1,2,3,
11、4,5,s12t，则s(3)1235， 所以物体在3秒末的瞬时速度为5 米/秒.,1.一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒.,答案,解析,5,1,2,3,4,5,f(x)3x22bxc，,2.若函数f(x)x3bx2cx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的单 调递减区间为 .,f(x)3x24x1，由f(x)0即3x24x10，,答案,解析,3.已知函数f(x)x3ax2bx27在x1处有极大值，在x3处有极小值，则a ，b .,1,2,3,4,5,答案,解析,f(x)3x22axb， 由题意可知，3x22axb0的两
12、根为1和3， 由根与系数的关系，得,3,9,4.若函数yx3ax24在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为 .,3，),y3x22axx(3x2a)， 由题意知，x(0,2)，y0， 即x(3x2a)0，,答案,解析,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值；,解答,因为f(x)a(x5)26ln x，,1,2,3,4,5,令x1，得f(1)16a， f(1)68a， 所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，,1,2,3
13、,4,5,(2)求函数f(x)的单调区间与极值.,解答,1,2,3,4,5,令f(x)0，解得x2或3. 当03时，f(x)0， 故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数； 当2x3时，f(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数.,1,2,3,4,5,在x3处取得极小值f(3)26ln 3.,综上，f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，)，单调减区间为(2,3)，,1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点. 2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体. 3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.,规律与方法,本课结束,
