高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导

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1、高中数学竞赛讲义高中数学竞赛讲义+ +完美数学高考指导完美数学高考指导( (一一) ) 高中数学竞赛讲义（一）高中数学竞赛讲义（一） 集合与简易逻辑 一、基础知识一、基础知识 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各 个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合 A 中，称属于 A，记为，否则称不属于 A，记作 。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何 元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用

2、逗号隔开表示集合的方法，如 1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有 理数集和正实数集。 定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集， 记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。 如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。 定义 3 交集， 定义 4 并集， 定义 5 补集，若称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 差集，。 定义 7 集合记作开区间，集合 记

3、作闭区间，R 记作 定理 1 集合的性质：对任意集合 A，B，C，有： （1） （2）； （3） （4） 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若，则，且或，所以或，即 ；反之，则或，即且或 ，即且，即 （3）若，则或，所以或，所以，又，所以 ，即，反之也有 定理 2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方 法，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 定理 3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，第 步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 二、方法与例题二、方

4、法与例题 1利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例 1 设，求证： （1）； （2）； （3）若，则 证明（1）因为，且，所以 （2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性， 所以是奇数或 4 的倍数，不可能等于，假设不成立，所以 （3）设，则 （因为）。 2利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则 A=B。 例 2 设 A，B 是两个集合，又设集合 M 满足 ，求集合 M（用 A，B 表示）。 【解】先证，若，因为，所以，所以 ； 再证，若，则1）若，则；2）若 ，则。所以 综上， 3分类讨论思想的应用。 例 3 ，若， 求 【解】依题设，再由解得或， 因为，所以，所以，所以或

5、2，所以或 3。 因为，所以，若，则，即，若，则 或，解得 综上所述，或；或。 4计数原理的应用。 例 4 集合 A，B，C 是 I=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的子集，（1）若，求有序集合对 （A，B）的个数；（2）求 I 的非空真子集的个数。 【解】（1）集合 I 可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10 个 元素共有 310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有 310个。 （2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合 I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1 或者属于该子集或 者不属于，有两种；第二步，2 也有两种，第 1

6、0 步，0 也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空 真子集有 1022 个。 5配对方法。 例 5 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加 I 的 任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。 【解】将 I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因 此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为 C1A 与 A，并设 ，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上， 。 6竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理；用表示集合 A 的元素个数，则 ，需要 xy 此结论可以推广到个集合的 情况，即

7、定义 8 集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫 I 的一个-划分。 定理 5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个 抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。 例 6 求 1，2，3，100 中不能被 2，3，5 整除的数的个数。 【解】 记， ，由容斥原理， ，所以不能被 2，3，5 整除的数有个。 例 7 S 是集合1，2，2004的子集，S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7，问 S 中最多含有多少个元素？ 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。

8、由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于 S，将这 11 个数按连续两个为一组，分成 6 组，其中一组只有一个数，若 S 含有这 11 个数中至少 6 个，则必有两个数在同一组， 与已知矛盾，所以 S 至多含有其中 5 个数。又因为 2004=18211+2，所以 S 一共至多含有 1825+2=912 个元素，另 一方面，当时，恰有，且 S 满足题目条件，所以最少 含有 912 个元素。 例 8 求所有自然数，使得存在实数满足： 【解】 当时，；当时，；当时， 。下证当时，不存在满足条件。 令，则 所以必存在某两个下标，使得，所以或，即 ，所以或，。 （）若，考虑，有或，即，设 ，则，导致矛

9、盾，故只有 考虑，有或，即，设，则， 推出矛盾，设，则，又推出矛盾， 所以故当时，不存在满足 条件的实数。 （）若，考虑，有或，即，这时 ，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于 是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有 ，所以。故当时，不存在满足条件的实数。 例 9 设 A=1，2，3，4，5，6，B=7，8，9，n，在 A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集 合，求的最小值。 【解】 设 B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则 在出现的所有中，至少有一个 A 中的数出现 3 次，不妨设它是 1，就有集合1， ，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是

10、 2，3，4，5，6 这 5 个数，这不可能，所以 20 个中，B 中的数有 40 个，因此至少是 10 个不同的，所以。当时，如下 20 个集合满足要求： 1，2，3，7，8， 1，2，4，12，14， 1，2，5，15，16， 1，2，6，9，10， 1，3，4，10，11， 1，3，5，13，14， 1，3，6，12，15， 1，4，5，7，9， 1，4，6，13，16， 1，5，6，8，11， 2，3，4，13，15， 2，3，5，9，11， 2，3，6，14，16， 2，4，5，8，10， 2，4，6，7，11， 2，5，6，12，13， 3，4，5，12，16， 3，4，6，8，9

11、， 3，5，6，7，10， 4，5，6，14，15。 例 10 集合1，2，3n可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小 正整数 【解】 设其中第 个三元集为则 1+2+ 所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当 时，集合1，11，4，2，13，5，3，15，6，9，12，7，10，14，8满足条件，所以的最小值为 5。 三、基础训练题三、基础训练题 1给定三元集合，则实数的取值范围是_。 2若集合中只有一个元素，则=_。 3集合的非空真子集有_个。 4已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合 P=_。 5已知，且，则常数的取值范围是_。 6若非空集合 S 满足，且

12、若，则，那么符合要求的集合 S 有_个。 7集合之间的关系是_。 8若集合，其中，且，若，则 A 中元素之和是_。 9集合，且，则满足条件的值构成的集合为 _。 10集合，则 _。 11已知 S 是由实数构成的集合，且满足 1）若，则。如果，S 中至少含有 多少个元素？说明理由。 12已知，又 C 为单元素集合，求实数的取值范围。 四、高考水平训练题四、高考水平训练题 1已知集合，且 A=B，则_，_。 2 ，则_。 3已知集合，当时，实数的取值范围是 _。 4若实数为常数，且_。 5集合，若，则_。 6集合，则中的最小元素是_。 7集合，且 A=B，则_。 8已知集合，且，则的取值范围是_。

13、 9设集合，问：是否 存在，使得，并证明你的结论。 10集合 A 和 B 各含有 12 个元素，含有 4 个元素，试求同时满足下列条件的集合 C 的个数：1） 且 C 中含有 3 个元素；2）。 11判断以下命题是否正确：设 A，B 是平面上两个点集，若对任何，都 有，则必有，证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题五、联赛一试水平训练题 1已知集合，则实数的取值范围是 _。 2集合的子集 B 满足：对任意的，则集合 B 中元素个数的最大值 是_。 3已知集合，其中，且，若 P=Q，则实数 _。 4已知集合，若是平面上正八边形的顶点 所构成的集合，则_。 5集合，集合，则集合 M 与 N 的关系

14、是_。 6设集合，集合 A 满足：，且当时，则 A 中元素最多有 _个。 7非空集合，则使成立的所有的集合是 _。 8已知集合 A，B，aC（不必相异）的并集, 则满足条件的有序三元组（A，B，C）个 数是_。 9已知集合，问：当取何值时， 为恰有 2 个元素的集合？说明理由，若改为 3 个元素集合，结论如何？ 10求集合 B 和 C，使得，并且 C 的元素乘积等于 B 的元素和。 11S 是 Q 的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则 ，试确定集合 S。 12集合 S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的若干个五元子集满足：S 中的任何两个元素至多出现在两个不 同的五元子集中，问：

15、至多有多少个五元子集？ 六、联赛二试水平训练题六、联赛二试水平训练题 1是三个非空整数集，已知对于 1，2，3 的任意一个排列，如果，则 。求证：中必有两个相等。 2求证：集合1，2，1989可以划分为 117 个互不相交的子集，使得（1）每个恰 有 17 个元素；（2）每个中各元素之和相同。 3某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？ 4设是 20 个两两不同的整数，且整合中有 201 个不同的元素，求集合 中不同元素个数的最小可能值。 5设 S 是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。 6对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个 元子集中，均有至少 3 个两两互质的元素。 7设集合 S=1，2，50，求最小自然数，使 S 的