《数学竞赛专题函数130717141》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学竞赛专题函数130717141（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数(一),这里主要研究运用函数的概念及函数的性质解题,函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材复习,这里以例题讲解应用,一.函数的对称性,例1 函数y = f ( x ) 对任意实数x，总有 （1）f (ax) = f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有什么性质，证明你的结论； （2）f (ax) =f ( b + x )，这里a，b是常数，问函数的图像有
2、什么性质，证明你的结论, PQ垂直直线 ，且被其平分，,【解（1）】 设y = f (ax) = f ( b + x )则点P (ax，y)，Q ( b + x， y) 都在函数y = f (x)的图像上,且P、Q两点纵坐标相等，, P、Q 两点关于直线 对称,而P、Q又是曲线y = f (x)上的动点，, 函数y = f (x)的图像关于直线,对称,【解（2）】设 y= f (ax)=f (b + x ) 则点R (ax，y)，S ( b+x，y)都在函数y = f (x) 的图像上,线段RS的中点是定点M（ ）,即R、S两点关于定点M 对称， 而R、S是曲线y = f (x)上的动点, 函
3、数y = f (x)的图像关于点 M（ ）对称,问题:当a=0,b=0函数f(x)具有什么性质?,例2 f ( x )是奇函数，x0时，f ( x ) = x (43x)，那么x0时f ( x ) = _,【解法1】x0时，f ( x ) = x(43x)，,在其上取三点P1（0，0）、,则它们关于原点的对称点分别是Q1 (0，0)，,设x时，, Q2在其上， ,解之，得a = 3，, x时，,【解法2】 设x0，则x0 f (x) = (x)(4 + 3x) f ( x )是奇函数， f (x) = f ( x ) x0时， f ( x ) =f (x )=x(4+3x),若把问题改为: f
4、 ( x )满足f ( 1+x ) = f (3- x ) ，x2时，f ( x ) = x (43x)，那么x2时求 f ( x ) 的解析式.请解答.,例3 已知函数 f ( x ) 对任意实数a，b都有 ，且f（0）0，则f ( x )是,（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数 （C）是奇函数也是偶函数 （D）既非奇函数也非偶函数,【讲解】 由 ，自然联想 到 即y=cosx肯定是符合题意的一个函数 自然就选（B） 但要把本题改为解答题，又该如何？怎样用好已知的等式？,【解法1】, f ( b ) = f (b )且bR f ( x )是R上的偶函数 由于f ( 0 )0，所以f (
5、 x )不是奇函数 应选（B）,于是, f ( a )+f (a ) = 2 f ( 0 )f ( a ) =2 f ( a ) f (a ) = f ( a )，aR f ( x )是R上的偶函数 而f ( 0 )0，故f ( x )不是奇函数 应选（B）,例4 函数y = f ( x )在 (-,0 上是减函数，而函数 y = f (x+1)是偶函数设 ， b = f ( 3 ) ， c = f (arccos (1)那么a，b，c的大小关系是_.,【解】 , c = f ( arccos (1) ) = f ( ) y = f ( x+1 )是偶函数 y = f ( x )的图像关于x
6、= 1对称， 于是由y = f ( x )在(-,0上递减知， f ( x )在2,+)上递增 f (2) = f ( 4 ) 而 234 f (3)f ( )f (4)，即bca ,例5.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x1)f(2x)成立，若f(x)0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B. C.152 D.,解：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是，其余100个根可分为50对， 每一对的两根关于x 对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 100150,例6.设f(x)是R上的
7、奇函数，且f(x3)f(x)，当 0x 时，f(x)x，则f(2003)( ) A.1 B.0 C.1 D.2003,解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期为6 f(2003)f(63351)f(1)f1,问题：函数f(x)满足f(a+x) =f(b-x)且f(c+x)= f(d-x)那么f(x)是不是周期函数?为什么?若是,周期是多少?,二.函数的单调性,例7 已知函数 ，判断该函数在区间 上的单调性，并说明理由,【解法1】 设 , f (x1 ) f (x2 ) 故函数 是减函数,【解法2】,x0时， 和 都是增函数，,从而 是 上的减函数,在y轴左侧，增减的转折点是
8、x=2，且先减后增，故-2,0 是递增区间；,在y轴右侧，增减的转折点是x = 2，且先减后增，故2,+) 是递增区间,例10. 已知f ( x )=x2 + 2x + 8， g ( x ) = f ( 2x 2 )，求g ( x )的单调增区间,【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数 t=x2+2 y = f ( t ) =t 2 + 2t + 8 ,(1)x(-,-1 时,函数递增,且t1,而t (-, 1 时,函数也递增，故(-,-1 是所求的一个单调增区间；,(2)x (-1,0时，函数递增，且t(1,2 ， 而 t(1,2 时，函数递减， 故(-1,
9、0 是g ( x )的单调减区间；,(3)x(0,1时,函数递减，且t(1,2 ， 而 t(1,2,函数也递减， 故(0,1是g ( x )的单调增区间；,（4）x(1，+)时， 函数递减，且t(，1) 而t(，1) 时，函数递增， 故(1，+)是g ( x )的单调减区间 综上知，所求g ( x )的增区间是,和,例12.已知(3xy)2001x20014xy0， 求4xy的值.,解：构造函数f(x)x2001x，则 f(3xy)f(x)0 注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数， 所以 3xyx 4xy0,三 函数方程与迭代,例13解方程：ln( x)ln( 2x)3x0,解：构造函数f(
10、x)ln( x)x 则由已知得：f(x)f(2x)0 不难知，f(x)为奇函数，且在R上是增函数(证明略) 所以f(x)f(2x)f(2x) 由函数的单调性，得x2x 所以原方程的解为x0,练习.1.设x,y是实数，且满足， 求x+y的值；,求cos(x+2y),3.解方程解方程x+log2(2x-31)=5 (2)解方程:(x8)2001x20012x80 (3)解方程：,(2)解：原方程化为(x8)2001(x8)x2001x0 即(x8)2001(x8)(x)2001(x) 构造函数f(x)x2001x 原方程等价于f(x8)f(x) 而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数 于是有x8x x4为原方程的解,4.解方程：,
