数学建模教学与竞赛培训4297100

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1、数学建模的实践与应用 及竞赛经验交流,（一）浙江大学开展数学建模教学和组织参加各种竞赛的情况简介,1982-1995 课程开设，数学系限定性选修课 教材建设，1990年出版“数学模型” 1995-1999 扩大受教育面，开设各种必修课、选修课： （1）竺可桢学院混合班必修课 （2）竺可桢学院工程高级班 （3）理科基地班必修课修课 （4）全校性选修课 （5）数学系必修课（6）研究生学位课（7）荣誉课程 1999-2004 创建名牌课程与数学建模实践基地 国家理科基地创建精品课程项目（1999年） 国家理科基地创建优秀课程项目（2001年） 获浙江省教学成果一等奖（2000年） 获国家级教学成果二

2、等奖（2001年） 被浙江省教育厅授予首批省级精品课程（2003年） 被教育部授予首批国家级精品课程（2004年） 数学建模方法与实践被立项为国家级教学团队（2008）,我们的教学方法,普及教育：为新生举办讲座，激发学生的兴趣 课堂教学：为二三年级学生开课（周学时4-5不等） 课堂教学与学生建模实践活动相结合（SRTP项目，课外课题研究） 数学建模教育与培训组织学生参加国内外大学生数学建竞赛相结合（校内竞赛，全国竞赛、国际竞赛等） 教学内容改革与教材建设（包括教材建设、学生建模基地与建模网站建设、教改项目的执行等） 兼顾创新性人才的培养与应用型人才的培养（竺可桢学院-尖子学生的培养、全校选修-

3、普及、独立二级学院-应用型人才培养、研究生研讨班） 开设研究生学位课、实践课，开展较高层次的课题研究,教学效果与教改收获,学生综合素质与科研能力得到了有效提高（每年有上千名学生听课、每年提交科研论文或研究报告近百篇，300多个队参加学校数学建模竞赛，大约25-30个队参加全国竞赛、10个队参加美国竞赛，学生参与的积极性十分高涨，这些学生的素质与能力在科研实践中迅速提高） 增强了学生学习数学知识和专业知识的兴趣（培养兴趣、提高能力、增长知识是大学教育的主要任务） 为更高层次的人才培养输送了大批尖子学生（为国内外著名高校和科研机构提供了优秀生源，其中不少原先只是中等生） 培养了学生合作研究的习惯,

4、学生参赛获奖（1999年以来） 美国竞赛：特等奖3项（99、03、10）其中 INFORMS（美国运筹与管理学会）2项 ，国际一等奖 43 项 （2000、2001全部一等奖），二等奖 24 项 全国竞赛：一等奖 34项，二等奖 46 项 出版教材： 已编著出版六本，除外较早期的两本还有： （1）数学建模，国家十五规划教材，2006年6月出版，浙江大学出版社 （2）数学建模竞赛-浙江大学学生获奖论文点评，2005年7月出版，浙江大学出版社 （3）数学建模，教育科学十五规划研究成果，2005年5月出版，高等教育出版社 （4）数学建模案例集，2006年7月出版，高等教育出版社 另有几本正在编写中,

5、（二）教学中注意对学生能力的培养,在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等 基本技巧的灵活应用与经典模型的推广： 从人口模型到多种群生态系统模型,从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米,将课堂教学、课外实践、SRTP（毕业设计）等项目指导、研讨班、竞赛培训及组织竞赛有机结合起来，形成系列化教学体系。（春节后开课、5月初校竞赛、暑假前举办2-3次研讨班、暑假自行准备竞赛、11月-12月举办美国竞赛集训） 加强学生实践环节的指导（鼓励学生研究自己感兴趣的问题，如：蝉的共鸣、紫金港校区路灯优

6、化设计、杭州黄金周旅游接待等）,注意对学生综合素质的培养（冰冻三尺，非一日之寒，功夫在平时） （观察与发现能力），如： （例1）数字的黑洞现象 任取一个能被3整除的数，如213 按如下运算：,（例2）循环图的连通性与gcd(a,n)=1之间的关系）。举例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2 希尔密码设计 古典密码不能改变字母出现的频率 利用矩阵与向量相乘运算 困难：逆矩阵不能用于解密 想办法克服困难。,用矩阵A左乘各向量加密（关 于26取余）得,得到密文 JXCPI WEK,逻辑推理与证明能力的提高 （观察猜测证明，科学研究的重要途径之一）,（例）设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O

7、。 A、B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。 现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。,猜测证明如下：,例1 在每一次人数不少于6人的聚会中必可找出这样的3人，他们或者彼此均认识或者彼此均不认识 。,利用图的方法来描述该问题。将人看成顶点，两人彼此都认识用实线连，否则虚线。,证明：,问题转化为在一个6阶图中必存在实线三角形或虚线三角形。,请大家一起画图证明,1,2,3,4,任取一顶点，不妨1,考察23、24和34,23、24和34只能是虚线 ，否则得证,但这样三角形234的三边均为虚线,拉姆齐问题也可这样叙述： 6阶2色完全图中必含有3阶单色完全图。,其他类似可推出

8、的结果 ：,命题1 任一6阶2色完全图中至少含有两个3阶单色完全图。,证明：前面证明必存在3阶单色完全图，不妨设123 为红色完全图,15、25、35中至少有两条黑色、故15 与25中至少有一条是黑色,14、24、34至少应有两条黑色，不妨设 14 、24 黑色,所以存在第二个3阶单色完全图。 命题2 7阶双色完全图中至少含有4个3阶单色完全图,定义 ： 用m种颜色对 的边进行染色，如果要求必存在一种颜色k（k = 1,m之一），在 中总可以找出该种颜色的 阶单色子图，具有这种性质的最小正整数n记为 ， 这种数被称为拉姆塞数。根据前面的证明，我们已经知道了 。（易见，由于数学符号的引入，我们的

9、叙述大大地简化了）。,经过许多人的努力，现已发现： 人们找到的拉姆塞数总共只有这10个。由于计算量太大的原因，要找到第十一个（例如寻找 ）已经是常人无法想象地困难。 的发现非常困难，即使利用计算机来计算也要花上几年的时间，但 却并不难证明，有兴趣的同学可以自己利用抽屉原理来完成证明。,例2 17位学者中每人都和其他人通信讨论3个方向的课题。任意两人间只讨论其中一个方向的课题，则其中必可找出3位学者，他们之间讨论的是同一方向的课题。即r(3,3,3)=17,（例3）（交换座位奇偶数校验）,（问题的提出）一位老师正在上英语课，教室里共有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐满了学生。为了增加口语练习机

10、会，老师要求学生变换一下座位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在原先座位的前后左右4个座位之一上，问学生应当怎样交换座位？ （解答）这一问题是无解的，教室里共有63个座位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量不一样，所以无法交换。,类似的方法可以巧妙地用于许多地方 。例如： 拟将一批尺寸为124的的商品装入尺寸为666的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入的该商品正好充满包装箱。,解 将正方体剖分成27个222的小正方体，并 按下图所示黑白相间地染色。

11、,再将每一222的小正方体剖分成111的小正方体。 易见，27个222的正方体中，有14个是黑的，13个是白的（或13黑14白），故经两次剖分，共计有112个111的黑色小正方体和104个111的白色小正方体。 虽然包装箱的体积恰好是商品体积的27倍，但容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占据4个黑色和4个白色的111小正方体的位置，故商品不可能充满包装箱。,教学中尽量选用对学生有启发作用的的实例 （例）为什么要用三级火箭来发射人造卫星,1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星?,（1）卫星能在轨道上运动的最低速度,R为地球半径，约为6400公里,故引力:,（2）火箭推进力及速度的分析,假设：火

12、箭重力及空气阻力均不计,（2）火箭推进力及速度的分析,最终质量为mP + mS ，初始速度为0， 所以末速度：,根据目前的技术条件和燃料性能，u只能达到3公里/秒，即使发射空壳火箭，其末速度也不超过6.6公里/秒。 目前根本不可能用一级火箭发射人造卫星,火箭推进力在加速整个火箭时，其实际效益越来越低。如果将结构质量在燃料燃烧过程中不断减少，那么末速度能达到要求吗？,2、理想火箭模型,得到：,解得：,理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP，,所以最终速度为：,只要m0足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具有的任意速度。,考虑到空气阻力和重力等因

13、素，估计（按比例的粗略估计）发射卫星要使=10.5公里/秒才行，则可推算出m0/ mp约为51,即发射一吨重的卫星大约需要50吨重的理想火箭,3、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统,记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第i级火箭的质量，mP表示有效负载。,先作如下假设：,考虑二级火箭：,又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则可得：,要使2=10.5公里/秒，则应使:,即k11.2，而:,类似地，可以推算出三级火箭：,在同样假设下:,要使3=1

14、0.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77。,是否三级火箭就是最省呢？最简单的方法就是对四级、五级等火箭进行讨论。,考虑N级火箭：,记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2,由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。,当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。,4、火箭结构的优化设计,3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该假设，在各级

15、火箭具有相同的粗糙假设下，来讨论火箭结构的最优设计。,应用（3.11）可求得末速度：,记,则,又,问题化为，在n一定的条件下，求使k1 k2kn最小,解条件极值问题：,或等价地求解无约束极值问题：,可以解出最优结构设计应满足：,火箭结构优化设计讨论中我们得到与假设（ii）相符的结果，这说明前面的讨论都是有效的！,（三）竞赛准备,组队应体现取长补短，准备应有分工（数学、算法、编程、软件使用等）做题不在多而在精（我校一般要求每类至少各做2题）。 在做题过程中培养快速掌握未学过的知识的能力（MCM99C) 分析对比获奖论文的各种做法： （1）找出每一篇的闪光点 （2）学习论文写作方法（各队可养成自己

16、的写作习惯） 善于随时总结，找出出本队弱点，及时弥补盲点。,（四）指导竞赛的几点经验教训,1. 认真选题 （例1）CMCM97(零件参数设计与截断切割） （例2）MCM2004（quick pass与校园网) （例3）MCM2010（A棒球杆、B系列犯罪预测、C太平洋污染） *题目本身有一定的局限性：登机问题，SARS的预防等,2. 充分查阅资料 （例1） MCM2000A题（自行车竞赛资料、自行车资料及赛场资料等） （例2） MCM2004A题（指纹鉴定与DNA鉴定)指纹鉴定的原理、指纹的收集等 （例3）小行星撞击地球 陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与海啸、南极附近海域的生态状况等，在此基础