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1、现在有一张用纸做的角，怎样不利用其他工具把它平分？ 对折之后的折痕和这个角有什么关系？ 如果是木板不能对折，该怎么平分？,动脑想一想,如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，则AC所在直线就是这个角的平分线。 你能说明这是为什么吗？,动脑想一想,证明： 在ADC和ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等） DC=BC（已知） ADCABC (SSS) DAC=BAC（对应角相等） 即 AE平分BAD,动脑想一想,通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面的角的平分线吗？,动脑想一想,B,A,O,仅用尺规作图，已知AOB，求作A
2、OB的平分线,尺规法画角平分线,B,A,O,以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N,M,N,尺规法画角平分线,B,A,O,分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径画弧，两弧在AOB的内部交于点C,M,N,C,尺规法画角平分线,B,A,O,画射线OC，即为AOB的角平分线,M,N,C,思考和交流,在你刚才画好的角平分线OC上任意取一点P，过点P画出OA和OB的垂线段，分别记垂足为D，E。PD和PE的长度有什么关系？ 在OC上再取几个点试一下，并和你的伙伴交流结论，你们发现角平分线有什么性质？,思考和交流,经过测量，PD=PE总成立。 经过讨论，我们猜想： 角分线上的点
3、到角两边的距离相等。,你能用全等三角形证明吗？,给出图形和数学语言,如图，已知AOC=BOC，点P在OC上，且PDOA，PEOB，垂足分别为D，E。 求证：PD=PE。,证明过程,角的平分线的性质,角分线上的点到角两边的距离相等,OC平分AOB，PDOA，PEOB PD=PE,P到OA的距离,P到OB的距离,角平分线上的点,知识回顾,几何语言：, OC平分AOB， 且PDOA， PEOB, PD= PE,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,角平分线的性质：,不必再证全等,O,A,B,E,D,思考：,如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?,C,P,PD,
4、PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等,ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,（点D到AB的距离是3）,如图所示，在ABC中，C=90，AD是BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_。,如图：在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB,实践应用(1),分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB.,现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么
5、条件,DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.,试试自己写证明。你一定行！,动笔练一练,证明： AD平分CAB 且DEAB，C90（已知） CDDE 在RtCDF和RtEDB中, CD=DE （已证） DF=DB （已知） RtCDFRtEDB (HL) CF=EB,例3：在OAB中，OE是 AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。,例题讲解,2.如图,在ABC中，ACBC，AD为BAC的平分线，DEAB，AB7，AC3，求BE的长。,E,D,C,B,A,动脑想一想,如图，要在S区建一个集贸中心，使它到铁路、公路的距离相等，并且
6、离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸中心应建在哪里？,如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？,思考题,角分线上的点到角两边的距离相等。 到角的两边的距离相等的点是否也在角的平分线上呢？,动脑想一想,画出几何图形，写出已知和求证，证明这个猜想。,给出图形和数学语言,如图，P是AOB上的一点，PDOA于D，PEOB于E，且PD=PE。 求证：OP是AOB的平分线。,证明过程,角的平分线的判定,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,P是AOB内的一点，PDOA，PEOB，且PD=PE OP是AOB的平分
7、线,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, PDOA，PEOB， PDPE OP平分AOB,用数学语言表示为：,角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）,总结,不必再证全等,如图，ABC中，D是BC 的中点，DEAB，DFAC，垂足分别 是E、F，且BECF。 求证：AD是ABC的角平分线,课堂练习,已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,课堂练习,动笔练一练,如图，ADOB于D，BCOA于C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则1和2的大小关系是（ ） 1=2 12 12 无法确定,A,我们之间就学习了三角形的角分线，之前
8、谈到过，三条角分线一定交于一点，不过当时我们没有给出证明，而只是通过画图的方法给出了印证。 现在我们学习了角分线的性质和判定定理，怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例题。,动脑想一想,如图，ABC的平分线BM，CN相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。,动脑想一想,证明： 过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F。 BM是ABC的角平分线， 点P在BM上 PD=PE，同理PE=PF PD=PE=PF 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等,动脑想一想,根据PF=PD，且PDAB，PFAC的事实，你现在能得到什么结论？ 点P也在A的平分线上，也
9、就是说，点A是三角形三条角平分线的交点。,动脑想一想,角的平分线的性质,OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分线的判定,归纳、比较,角分线的判定和性质,点在角平分线上,点到角两边的距离相等,判定,性质,学完本节课你应该知道,角的平分线,尺规画角的平分线,性质和判定,点在角平分线上,点到角两边的距离相等,判定,性质,会证明,练一练,填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _),1= 2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平
10、分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,动笔练一练,如图，OP平分AOB，PAOA于A，PB垂直于OB于B，下列结论一定成立的是（ ） PA=PB PO平分APB OA=OB 以上都一定成立,D,动笔练一练,如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是（ ） 线段CD的中点 CD与过点O做CD垂线的交点 CD与AOB的平分线交点 CD上任意一点,C,3、如图，ABC中，C=90，AC=CB，AD为BAC的平分线，DEAB于点E。 求证：DBE的周长等于AB。,A,B,C,D,E,练习,证明：周长 =DE+EB+BD =CD+DB+EB =CB+EB =AC+EB =A
11、E+EB =AB,证明：过点F作FGAE于G，FHAD 于H，FMBC于M，,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC，,FG=FM.,又点F在CBD平分线上， FHAD， FMBC.,FM=FH.,FG=FH，,点F在DAE的平分线上.,如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,课堂练习,FG AE,FH AD,如图，O是三条角平分线的交点， ODBC于D，OD=3， ABC的 周长为15，求SABC,课堂练习,如图，在四边形ABCD中， B=C=90，M是BC的中点，DM平分 ADC。 求证：AM平分DAB,课堂练习,如图, D, E, F分别是ABC三边上的点, CE=BF, DCE和DBF的面积相等, DHAB于H, DGAC于G. 求证: AD平分BAC.,课堂练习,
