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1、 对一阶RL电路进行数值积分法求解 学号： 姓名： 班级： 控制工程1.系统的选取已知连续系统一阶RL电路如图1所示。E = 5V，R= 3，L = 1H，当开关闭合后，分析电路中的电流变化情况。图1 一阶RL电路2. 建立实体表 问题中涉及的主要客体有电源、电阻、电感、开关等，它们都有一定的属性，其中开关的闭合或断开可以引起其它客体的变化，由此建立一阶RL电路系统的实体表，如表1所示。系统名称研究实体实体属性影响因素一阶RL电路电源E电压电感L电压，电流开关的闭合或者断开电阻R电压，电流开关闭合，断开表1 系统实体表3，建立属性表 由前面建立的实体表可以进一步找出它们的属性联系，建立一阶RL
2、电路系统的属性表，如表2所示。研究实体实体属性量纲符号电源E电压E电感L电压，电流，电阻R电压，电流，R开关闭合，断开，表2 系统属性表 4. 分析数学关系 当开关断开时，电路为断路状态，没有电流通过电路。当开关S闭合时，设电路的电流为，则电感两端的电压为： 电阻R两端的电压为： 由基尔霍夫电压定律得： 将E=5V，R=3，L=1H代入得到微分方程为：5.编写程序求解微分方程及分析步长对结果的影响选择四阶Runge-Kutta法对进行数值积分处理并求解。Runge-Kutta法是用几个点上的y(t)的一阶导函数值的线性组合来近似代替y(t)在某一点的各阶导数，然后用Taylor级数展开式确定线
3、性组合中各加权系数。这样Runge-Kutta法既可避免计算高阶导数，又可提高数值积分的精度。推导过程不做介绍，当r = 4的时候可以得到四阶Runge-Kutta公式，如下式所示。 用MATLAB编程对进行求解，创建一个M文件编写程序，之后进行参数的设置，得到结果。程序代码如下：function varout=SJLGKT(varargin) x0=0; xn=5; y0=0; h=0.01; %设置步长为0.01 y,x=lgkt4j(x0,xn,y0,h); n=length(x);fprintf( i 步长x(i) 计算值y(i)n);%文件输出格式 for i=1:n fprintf
4、(%2d %4.6f %4.6fn,i,x(i),y(i);end %编写待求的常微分方程 function z=f(x,y) z=5-3*y; %四阶龙格库塔算法 function y,x=lgkt4j(x0,xn,y0,h) %x0指搜索区间左端值，xn指搜索区间右端值，y0 指y初值，h为所取的步长 x=x0:h:xn; n=length(x);y1=x;y1(1)=y0; for i=1:n-1 K1=f(x(i),y1(i); K2=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K1); K3=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K2); K4=f(x(i)+h,y1(i)+h*K
5、3); y1(i+1)=y1(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); %绘制图像yout=;iout=;yout=yout,y1;iout=iout,x;plot(iout,yout);endy=y1;运行结果：图2 步长h=0.01数值结果： i 步长x(i) 计算值y(i) 1 0.000000 0.000000 2 0.010000 0.049257 3 0.020000 0.097059 4 0.030000 0.143448 5 0.040000 0.188466 6 0.050000 0.232153 7 0.060000 0.274550 8 0.070000 0.3
6、15693 9 0.080000 0.35562010 0.090000 0.394368. .50 0.490000 1.28345851 0.500000 1.29478352 0.510000 1.30577453 0.520000 1.31644054 0.530000 1.32679155 0.540000 1.336835. .496 4.950000 1.666666497 4.960000 1.666666498 4.970000 1.666666499 4.980000 1.666666500 4.990000 1.666666501 5.000000 1.666666 由图
7、2结果可得，设置步长为0.01，电流从零逐渐增加，最后达到稳态，稳态值约为1.66，可以看到曲线很光滑。继续增大步长为0.25，可以看出曲线变得有些折痕，如图3所示。图3 步长h=0.25 数值结果： i 步长x(i) 计算值y(i) 1 0.000000 0.000000 2 0.250000 0.876465 3 0.500000 1.292015 4 0.750000 1.489037 5 1.000000 1.582448 6 1.250000 1.626737 7 1.500000 1.647735 8 1.750000 1.657691 9 2.000000 1.66241110
8、2.250000 1.66464911 2.500000 1.66571012 2.750000 1.66621313 3.000000 1.66645214 3.250000 1.66656515 3.500000 1.66661816 3.750000 1.66664417 4.000000 1.66665618 4.250000 1.66666219 4.500000 1.66666420 4.750000 1.66666621 5.000000 1.666666 继续增加步长，当增加到0.93的时候发现不能得到正确的电流值变化结果了，结果如图4所示。图4 步长 h=0.93数值结果： i 步长x(i) 计算值y(i) 1 0.000000 0.000000 2 0.930000 -0.011865 3 1.860000 -0.023815 4 2.790000 -0.035849 5 3.720000 -0.047969 6 4.650000 -0.060176 所以，由MATLAB实验仿真可以知道，选择步长为0.01比较合理，能得到比较理想的结果。由此分析步长的选择对运算结果的影响：当步长选择越小，运算结果越精确，步长越大，结果的误差越大，当步长过大的时候就不能得到正确的结果。但是步长也不能无限小，这样会增大计算机的计算负担，计算时间变得很长，甚至可能导致死机。
