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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示,学习目标,1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示 2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向量基本定理及坐标表示。 3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展变化的。,学习重点,空间向量基本定理,学习难点,探究空间向量基本定理的过程及定理的应用,1、平面向量基本定理：,一、预备知识,一、预备知识 2、下图中，如何用两个不共线向量 来表示 ？,O,P,y,x,1,2,3,1,2,3、在平面直角坐标系中，取与X轴Y轴方向相同的两个单位向量 、作为基底，在图中作出 = ，并写出
2、 的坐标。,=（3，2）,O,x,y,z,o,二、探究与发现 探究一设 、 、 为由公共起点O的三个两两互相垂直的向量，那么对于空间任意一个向量 ，如何用 、 、 来表示？,Q,P,探究二如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂直的向量 ，还有类似结论吗？,O,P,Q,空间向量基本定理：,注意：,2.空间向量的基底唯一吗？,1.空间向量的基底可以为零向量吗？,任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。,基向量不能为零向量,x,y,z,O,e1,e2,e3,（2）空间向量的坐标表示,给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x
3、,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z),（2）空间向量的坐标表示,x,y,z,O,三、空间向量的正交分解及其坐标表示,x,y,z,O,i,j,k,P,记作 =(x,y,z),由空间向量基本定理，对于空间任一向量 存在唯一的有序实数组(x,y, z)使,P,P,练习. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以A为坐标原点，以 AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量 ， ，为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，用向量 ， ，表示向量AC1和BD1。,三、定理应用
4、 例1如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P,Q是MN的三等分点。用向量 、 、 表示 和 。,解：,=,解：,练习3 （1）,( 2 ),四、学后反思,1、知识点：,2、问题探究过程的思路剖析：,课下探究 空间向量基本定理与课本95页“思考“栏目中的第二问题有什么联系？你有何体会？,五、作业： P106 A组1. 2.,谢谢！再见！,练习,B,练习2,空间向量运算 的坐标表示, 则,设,一、向量的直角坐标运算,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则,空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,二、距离与夹角的坐标表示,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,在空间直角坐标系中，已知 、 ，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例1 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,小结： 1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键： 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。,
