《等可能事件与抛掷文个尾读硬币试验》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等可能事件与抛掷文个尾读硬币试验（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八讲 等可能事件与抛掷硬币试验1知道，但何以知道？我们知道，如果随意抛掷一枚硬币，则硬币正面朝上和反面朝上的可能性相等。因此我们说，抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件。我们又知道，如果随意抛掷一枚骰子，则骰子六个面朝上的可能性相等，因此我们说，抛掷骰子时，骰子的六个面朝上是等可能事件。但我们想过没有，人们是何以知道这些结论的呢？现在有三个选择项：A是由硬币（骰子也一样）几何形状的对称性和物理质地的均匀性想当然地得到的；B是布丰、德摩根等人抛掷硬币试验的结果（虽然没有他们抛掷骰子的记载）；C是利用概率论公式，通过计算得到的。你将作何选择？ 2考古的与历史的证据答案初现人类很早以前就
2、已经发现抛掷骰子时各面朝上的等可能性，并利用这种等可能性做各种游戏：我国山东青州出土的战国时代（公元前475年至前221年）齐墓中就发现陪葬的骰子。又据文献记载，古罗马（公元前27年至公元446年）人已利用骰子进行占卜和赌博。而概率论的产生，始于1654年法国数学家帕斯卡（16231662）和费尔马（16011665）在来往书信中讨论的关于抛掷骰子游戏的数学问题。此后经许多数学家的大量工作，概率论的内容逐渐充实，到1812年法国数学家拉普拉斯的著作概率分析理论问世，所谓古典概率的理论结构已经完成。至于抛掷硬币试验，重要的抛掷硬币试验的年代无法考证，但著名的抛掷硬币试验者的生卒年代可以考证：布丰
3、（17071788），德摩根（18031871），皮尔逊（18571936），费勒（19061970）。从时间先后不难发现：人类先有对等可能性的认识，在此基础上建立了古典概率理论，然后才有抛掷硬币的试验。3逻辑至少应有一个“先验的”概率不妨从逻辑角度再作一次推演。大数思想表明：“当随机试验次数达到大数次时，事件的频率逐渐稳定于它的概率。”因此，至少有一个随机事件的概率是未经试验而预先知道的，这个概率必定不是试验的结果（即用频率估计）。而这正是抛掷硬币时，硬币正、反面朝上的概率，以及抛掷骰子时，骰子各面朝上的概率。4数学事实抛掷硬币试验的意义何在？ 既然如此，布丰、德摩根等人抛掷硬币试验的意义又
4、何在呢？事实上，抛掷硬币试验的结果是对人们的“想当然”，即“抛掷一枚硬币时，硬币正、反面朝上可能性相等”的一个佐证：如果“想当然”不错，那么只要抛掷硬币次数足够多，硬币正、反面朝上的次数应十分接近。结果果然如此。既然试验结果不能否定“想当然”，我们也增强了对“想当然”的信任。下面我们就来仔细讨论这个问题。现在假定“想当然”不错，即假定抛掷硬币时，硬币正面朝上和反面朝上是等可能的，我们运用初等代数知识，一起来考察几个事件的概率。在此过程中，我们希望能解决以下几个问题：计算古典概型（等可能基本事件的复合）事件概率的几种方法；为什么抛掷硬币试验难以获得硬币正、反面朝上次数相等的结果？为什么抛掷硬币次
5、数足够多时，硬币正、反面朝上次数十分接近？（1）抛掷2次硬币，出现1正1反的概率是多大呢？第一种方法是运用树图求解，这是教科书中给出的方法：第二次正 第一次正 第二次反第二次正 第一次反 第二次反观察发现：共有4种可能的情形；在所有4种可能的情形中，1正1反的情形出现2次；因此1正1反的概率是。又可以借助2进制数求解：记硬币正面朝上为1，反面朝上为0。则所有可能出现的情形可记作2进制数00、01、10、11（即10进制数的03），因此所有可能的情形有种；又观察发现，满足要求的情形为01和10，共2种；因此所求的概率为。还可以运用排列组合方法求解，这就需要一点组合数学知识：抛掷2次硬币，每次有2
6、种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有种；又1正1反的情形相当于2次抛掷硬币恰有1次正面朝上，可以是2次中的任意1次，有种可能；因此所求的概率为。（2）问题的难度逐渐增加，抛掷4次硬币，2正2反的概率是多大呢？运用树图。现在的树图已显庞大： 第四次正 第三次正 第四次反 第二次正 第四次正 第三次反 第四次反第一次正 第四次正 第三次正 第四次反 第二次反 第四次正 第三次反 第四次反 第四次正 第三次正 第四次反 第二次正 第四次正 第三次反 第四次反第一次反 第四次正 第三次正 第四次反 第二次反 第四次正 第三次反 第四次反观察发现，一共有16种可能的情形，其中2正2反的情形出现了
7、6次，因此2正2反的概率是。借助2进制数求解：记硬币正面朝上为1，反面朝上为0，则可能出现的情形可记作2进制数0000，0001，0010，0011，0100，0101，0110，0111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111（即10进制数015），因此所有可能的情形有种；又观察发现，满足要求的情形为0011， 0101，0110， 1001，1010， 1100，共6种，因此所求概率为。运用排列组合知识求解：抛掷4次硬币，每次有2种可能的结果，根据乘法原理，所有可能的情形有种；而2正2反的情形相当于4次抛掷硬币恰有2次正面朝上，可以是4次中的任意2次
8、，有种可能；因此所求的概率为。试验次数增加了，正反相等的概率反而减小了！（3）抛掷硬币的次数继续增加，情况将如何？从此前的工作看，运用树图或借助2进制数求解其实费力又费时，特别是主要依靠观察才能确定硬币正反相等的次数。所以此后我们将只用排列组合方法来求解。 抛掷6次硬币，3正3反的概率是：； 抛掷8次硬币，4正4反的概率是：； 抛掷10次硬币，5正5反的概率是：；抛掷20次硬币，10正10反的概率是：。计算结果显示，试验20次时，硬币正、反次数相等的概率已小于！我们还发现，试验次数越多，正反次数相等的概率越小。一般地有。不过，抛掷20次硬币，11正9反以及9正11反的概率都是：；12正8反以及
9、8正12反的概率都是：。因此，抛掷20次硬币，10正10反或者11正9反或者9正11反或者12正8反或者8正12反的概率是。这个概率就相当大了。（4）用杨辉三角形来解释：事实上，而是的中间项，由牛顿二项式展开公式或杨辉三角形得到： 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 256 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 466 466 330 165 55 11 1 1 12 66 220 49
