传染病模型

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1、传染病模型,致命的瘟疫,在人类历史上，天花和黑死病、痢疾、霍乱等瘟疫都留下了惊人的死亡数字。,公元前 1100多年前，印度或埃及出现急性传染病天花。公元前3前2世纪，印度和中国流行天花。公元165180年，罗马帝国天花大流行，14的人口死 亡。6世纪，欧洲天花流行，造成10的人口死亡。17、18世纪，天花是欧洲最严重的传染病，死亡人数高达1.5亿。19世纪中叶，中国福建等地天花流行，病死率超过12。19001909年，俄国因天花死亡50万人。,据史书记载，霍乱于1817年首次在印度流行，1823年传入俄国，1831年传入英国。 19世纪初至20世纪末，大规模流行的世界性 霍乱共发生8次。,18

2、171823年，霍乱第一次大规模流行，从“人类霍乱的故乡”印度恒河三角洲蔓延到欧洲，仅1818年前后便使英国6万余人丧生。 1961年出现第七次霍乱大流行，始于印度尼西亚，波及五大洲140多个国家和地区，据报告患者达350万。1992年10月，第八次霍 乱大流行，席卷印度和孟加拉国部分地区，在短短23个月就报告病例10余万，死亡人数达几千人，随后波及许多国家和地区。,疟疾每年在全球有五亿宗病例，导致超过 100 万人死亡，大部份在非洲发生。世界卫生组织指出疟疾平均每 30 秒杀死一个 5 岁以下的儿童；疟疾也是导致非洲经济一直陷于困境的主要原因之一。,第一次世界性鼠疫大流行：始于公元6世纪，源

3、自中东，流行中心为近东地中海沿 岸，持续近60年，高峰期每天死亡万人，死亡总数近1亿人。,公元前430前427年，雅典发生鼠疫，近 12人口死亡，整个雅典几乎被摧毁。,第二次世界性鼠疫大流行：史称“黑死病”，13481351年在欧洲迅速蔓 延，患者35天内即死，3年内丧生人数达6200万，欧洲人口减少近14，其中威尼斯减70，英国减58，法国减 34。此次“黑死病”延续到17世纪才消弭。,第三次世 界性鼠疫大流行：1894年，香港地区爆发鼠疫，波及亚洲、欧洲、美洲、非洲和澳洲的60多个国家，死亡逾千万人。其中，印度最严重，20年内死亡102万多人。,1918-1919年，爆发了席卷全球的流感疫

4、病，导致2,000-5,000万人死亡，是历史上最严重的流感疫症。,流行性感冒简称流感，是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病，能引起心肌炎、肺炎、支气管炎等多种并发症,极易发生流行，甚至达到世界范围的大流行。,目前的H5N1型病毒株仅能通过禽类传染给人体，必须防范它与人类的流行性感冒病毒株接触进行基因重组，突变出“人传人”的禽流感病毒。禽流感一旦在人际传播，数亿人生命将受到威胁。,自2003年来全世界已有14个国家357人感染了禽流感病毒，其中219人因感染了该病毒而死亡。,HIV是艾滋病的病原体，主要通过体液、血液传播。艾滋病联合规划署和世界卫生组织在“2006艾滋病流行最新情况”报告中说，世

5、界上每隔8秒钟就有一人感染HIV，全球每天有1.1万人感染HIV，与此同时，每天有8000名感染者丧命。,SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在23个国家和地区范围内传播的传染病。,2002年11月16日中国广东佛山发现第一个非典型肺炎的病例。截至2003年7月11日，全球共8069名患者，死亡人数达775，死亡率约为12%。 目前已经找到治疗方法，中国和欧盟科学家联手，成功找到了15种能有效杀灭非典病毒的化合物。香港大学的新近研究表明，蝙蝠可能是SARS病毒野生宿主,英格兰德比郡的小村亚姆(

6、Eyam)有一个别号，叫“瘟疫之村”。但这个称呼并非耻辱，而是一种荣耀。1665年9月初，村里的裁缝收到了一包从伦敦寄来的布料，4天后他死了。月底又有5人死亡，村民们醒悟到那包布料已将黑死病从伦敦带到了这个小村。在瘟疫袭来的恐慌中，本地教区长说服村民作出了一个勇气惊人的决定：与外界断绝来往，以免疾病扩散。此举无异于自杀。一年后首次有外人来到此地，他们本来以为会看到一座鬼村，却惊讶地发现，尽管全村350名居民有260人被瘟疫夺去生命，毕竟还有一小部分人活了下来。,故事,问题提出,本世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着 人类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制然而，即使在今

7、天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象, 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）如何描述传染病的传播过程 （2）如何分析受感染人数的变化规律 （3）如何预报传染病高潮的到来,人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里更不可能从医学的角度来分析各种传染病的传播，所以，我们只能按照一般的传播机理建立模型。,问题分析,不同类型传染病的传播过程有不同的特点。 故不可能从医学的角度对各种传染病的传播过程一 一进行分析，而是按一般的传播机理建立模型 由于传

8、染病在传播的过程涉及因素较多，在分 析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完善的 数学模型 思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果 进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修改假 设，最终得出较好的模型。,现通过疾病传播过程中若干重要因素之间的联系建立微分方程加以讨论，研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方法显然是一件十分有意义的工作。 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型,假设已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,每个病人每天可使 s(t) 个

9、健康者变为病人。,模型1,假设,建模,?,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,（SI 模型）,(1) 人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记为s(t) 和 i(t)。 即 那么 健康者为:Ns(t) 病 人为:Ni(t),假设,模型2,根据假设，每个病人每天可使 s(t) 个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以每天共有 Ns(t)i(t) 个健康者被感染，即病人数Ni(t) 的增加率为 Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图如下,得出：,模型建立,据假设2,在时刻,t,，,有病人

10、数为,，,病人数变为,，,每个病人每天可使,个健康者变,成病人,.,故每天共有,个健康者被,感染，,那么,Ni,的增量就变为,；,（,1,）,在,即,又由假设,1,和设,时的比例,，则,得到模型,建模,求解,tm传染病高潮到来时刻,tm, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,3.模型的分析讨论 由式(4.3)、(4.4)及图4-1可知: (1)当 时， 达到最大值 ，这个时刻为 (4.5) 这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.tm与成反比，因为日接触率表示该地区的卫生水平，越小卫生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来.,(2

11、)当t时，i1，即所有人终将被感染，全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈.,4.2 模型SIS模型 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者，健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况建立的模型称为SIS模型.,1.模型的假设 SIS模型的假设条件(1)、(2)与SI模型的假设相同，增加的条件(即条件(3)为: (3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，则 是这种传染病的平均传染期.,2.模型的建立与求解 考虑到假设(3)，SI模型的式(4.1)应修正为： (4.6)

12、 式(4.2)不变，于是式(4.3)应改为： (4.7),方程(4.7)的解可表示为： (4.8),3.模型的分析讨论 定义 (4.9) 注意到和 的含义可知，是一个传染期内每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式(4.8)和(4.9)容易得到，当t时， (4.10),根据式(4.8)(4.10)可以画出i(t)t的图形如图4-2所示. 接触数1是一个阈值，当1时病人比例i(t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的缘故；当1时，i(t)的增减性取决于i(0)的大小，但其极限值i()11随的增加而增加. SI模型可视为本模型的特例.,

13、4.3 模型SIR模型 1.模型的假设 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康者(易感染者)也不是病人(已感染者)，他们已经退出传染系统.这种情况下的模型假设条件为： (1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三种，称SIR模型.三类人在总人数N中所占的比例分别为s(t)、i(t)和r(t)； (2)病人的日接触率为，日治愈率为，/.,2.模型的建立与求解 由条件(1)，有 s(t)i(t)r(t)1 (4.11) 根据条件(2)，方程(4.6)仍成立.对于病愈免疫的移出者而言，应有 (4.12) 再记初始时刻的健康者和病人的比

14、例分别是s0(0)和i0(0)(不妨设移出者的初始值r00)，则由式(4.6)、(4.11)和(4.12)，SIR模型的方程可以写为：,(4.13) 方程(4.13)无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们转到相平面si上来讨论解的性质.相轨线的定义域 (s，i)D应为： D(s，i)|s0，i0，si1 (4.14),在方程(4.13)中消去dt，并利用式(4.9)，可得 (4.15) 容易求出方程(4.15)的解为： (4.16) 则在定义域D内，相轨线如图4-3所示.图中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向.,图 4-3,3.模型的分析讨论 下面根据式(4.13)、(4

15、.16)和图4-3分析t时s(t)、i(t)和r(t)的变化情况(它们的极限值分别记作s，i和r). (1)首先，由式(5.4.13)， ，而s(t)0，故s存在；由式(5.4.12)知， ，而r(t)1，故r存在；再由式(5.4.11)知i存在.,其次，若i0，则由式(4.12)，对于充分大的t，有 ，这将导致r，与r存在相矛盾.故不论初始条件s0，i0如何，病人终将消失，即 i0 (4.17) 从图4-3上看，不论相轨线从p1或从p2出发，它终将与s轴相交.,(2)最终未被感染的健康者比例是s，在式(4.16)中令i0，得到s是方程 (4.18) 在 内的单根，在图4-3中s是相轨线 与s轴在 内交点的横坐标.,(3)若 ，则i(t)先增加，当 时，i(t)达到最大值 然后i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减小至s.,(4)若 ，则i(t)减小且趋于零，s(t)则单调减小至s. 可以看出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么 是一个阈值，当 时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数，即提高阈值 ，使得 ，传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可认为s01)，我们注意到在 中，人们的卫生水