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1、1,映射概念,映射的定义 映射的性质 逆映射 复合映射,2,1 映射的定义 设 A, B 是任意给定的两个集合，若存在一个对应法则f，使得对于任意xA，均存在唯一的 y B与它对应, 则称 f 是A到B的一个映射，记为 f:AB，且y=f(x)。,一 映射的定义,3,注意：映射 f 本质上定义为一个对应，这种对应有可能有解析表达式（正如我们通常见到的一样），但也可能不存在相应的表达式，如 A= a, b, c , B=0, 1 规则f: a 对应于0， b对应于1， c对应于1。 f 即为 A到B的一个映射。,又如 A 为有理数集, B为实数集,特征函数 假定A是论域U上的集合，定义,4,2
2、映射的相等 设 f, g 是A到B 的两个映射，若对于任意xA，均有 f(x) = g(x), 则称映射f, g是相等的，或是同一映射。,5,3 几个相关的称谓 假定 f:AB, y=f(x)，通常把 x称为自变量，自变量的取值范围称为定义域，记为 dom f。将 y 称为因变量，而把由所有因变量构成的集合称为值域，记为 ran f。 对映射而言： 对映射 f:AB 而言, 必有 dom f = A, ran f B 且如前所述，把因变量 y 称为 x 在映射f下的像或函数值，记为 y=f(x).,6,定义：设 f:AB, 令 X A，用 f(X) = f(x) | xX 表示 X 在映射f下
3、的像。 同理令Y B，用 表示Y在映射f下的原像。 注：这里的 是一个整体记号。,7,对于集合 A 和B，用 (B上A)表示A到B的所有映射组成的集合，即有,【例1-5】若 求,8,定理：对于集合 A 和B，若|A|=m, |B|=n，则,注意: B上A的记号与该结论的关系. 证明：设 f:AB, 对于任意的 xA,显然 f(x) 可取B中n个元素中任意一个， 而 |A|=m, 根据乘法原理，结论成立。,9,n元函数定义 在函数定义中，若 ，则对任意 xA，有 ,这时 称 f 为 到 B 的n元函数。,10,二 映射的性质,1 单射 定义：f:AB, 若对任意 , A，由 可推出 ，（或 ），
4、则称 f 是 A 到 B的单射，或称 f 是 A 到 B 的一对一映射。,2 满射 定义：f:AB, 若对任意yB，均存在xA，使得y=f(x)，则称 f 是 A 到 B的满射，或称 f 是 A 到 B 的映上的映射。,3 双射 定义：f:AB, 若f既是单射又是满射，则称 f 是 A 到 B的双射，或称 f 是 A 到 B 的一一对应。,11,12,5 置换 若 A 是有限集合，通常把 A 到 A的双射称为 A 上的置换。,4 变换 集合 A 到自身的映射习惯上称为 A 的一个变换。,例1.建立一个Z到N的一一对应。 例2.建立一个(0,1)到R的一一对应。 例3. 写出A=1,2,3上的所
5、有置换。,13,三 逆映射,1 定义 设f:AB, 若将对应关系逆转，能够得到一个集合B到集合A的映射，则该映射称为f的逆映射或逆函数，常称为反函数,记为 。,2 定理 设f:AB, 则 f 的逆映射存在的充要条件是：f 是双射。,14,看下面映射是否存在逆映射？,15,四 复合映射,定义 设f:AB,g:BC，对任意的 xA，h(x)=g(f(x) 为 A 到 C的映射，称 h 为 f 和 g 的复合映射或复合函数，记为 f g。 由复合函数定义知，,16,17,恒等映射 设A是集合，令f:AA,f(x)=x，称f为集合A上的恒等映射，记为 。,定理 若f:AB 是双射, 则有 特别地，若f
6、:AA是双射，则有,18,定理 设 f:AB, g:BC, 若 f 和 g 是单射，则 fg 是单射； 若 f 和 g 是满射，则fg是满射； (3)若 f 和 g 是双射，则fg是双射 且有,证明：(1) 因为 f 是 A到B的单射函数，所以当 ， A， , 又因为g是B到C单射函数，所以 ； 即当 时，(fg)( ) (fg)( )， 由此可见，复合函数gf是单射函数 同理可证明(2)与(3) 。,19,定理 设 f:AB, g:BC, 若 f g 是单射，则 f 是单射但 g不一定； 若 f g 是满射，则 g 是满射而 f 不一定。,同理可证明(2)。,20,定理 设 f:AB，g:BC，h:CD，则,由上面定理可知，当多个函数求复合时可以不加括号，即,证明：对任意 xA，由于 (f g) h)(x) = h(f g)(x) = hg(f(x)， 而 (f (g h)(x) = (g h)(f(x)=hg(f(x)， 即有 (f g) h)(x) = (f (g h)(x)。 从而有 (f g) h = f (g h)。,21,R是实数集，f、g、h是R到R的函数, 分别定义为 求(fg)h，f(gh)。,
