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1、 1数列基础知识总结一、要点透视数列是高中代数的主要内容，同是数列与高等数学联系密切。在内容上本章包括数列的概念、等差数列、等比数列的有关概念、性质、通项、前 n 项和等。等差数列与等比数列是两个特殊数列，是本章的核心。由于数列可以看成是正整数集 或其子集上的函数，因此，要注意用函数的观点和方法研究数列。*N二、知识复习（1） 有关概念：1数列：按一定次序排列的一列数，数列中的每一个数叫做数列的项。2数列的通项公式：如果数列a n的第 n 项 an与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。3数列的递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前 n 项，且任一项 an与它
2、的前一项 an-1（或前 n 项）间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。4若数列a n的前 n 项和为 Sn则aS12（ ）（ ）（2）等差与等比数列等差数列 等比数列定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。即 an-an-1=d，公差 d 可为正数、负数和零（A.P）如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。即aqn1，公比 q 是一个不等于零的常数。 （G.P）通项公式andn1()（来源：定义，迭加，迭代）mn()（证明）aqnmn10()， ， (定义,迭
3、乘，迭代）中项若 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a与 b 的等差中项，且 2A=a+b。若 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G2=ab。 （a, b 是同号）前 n 项和Snad()112或（倒序相加）Snqan11（ ）（ ）()（错位相减）（1） annr121nr1（2） mpqN(,)(1) qaqnnr1211（2） mpN(,) 2性质 aamnpq（3）若a n为等差数列，则 an，a 2n，a 3n 也为等差数列（4）若a n为等差数列，则 Sn，S 2n-Sn，S 3n-S2n 也为等差数列（5）若a n，b n都是等差数列，则a
4、 n+c，kan，a n+bn也是等差数列（其中 k、c 为任何常数）aqmnpq（3）若a n为等比数列，则 an，a 2n，a 3n 也为等比数列。（4）若a n为等比数列，则 Sn，S 2n-Sn，S 3n-S2n也为等比数列。（5）若a n，b n都是等比数列，则ka n（k0） ，abnn， 也是等比数列。等价条件（1） adn1（常数） an为等差数列（2） kbn（k、b 不同时为 0 的常数）an为等差数列（3） SAB2（ 、 不同时为 0 的常数） an为等差数列（4） C,为等差数列（1）qn1（q0 常数） an为等比数列。（2） acn(0， 常数） an为等比数列。
5、（3） nn122（ a） an为等比数列。设元技巧 三数等差： ,d四数等差： 3,3aad三数等比： 2,aqa或四数等比： 23,联系 真数等比，对数等差; 指数等差，幂值等比。（3）数列求和及数列实际问题1数列求通项与和（1）求通项常用方法：观察，归纳，叠加，叠乘，数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式：a n=。1sn2（2）数列前 n 项和重要公式：1+2+n= n(n+1)；1 2+22+n2= n(n+1)(2n+1)；1 3+23+n3=(1+2+n)2= n2(n+1)61 412；等差数列中，S m+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，S m+n=Sn+qnSm=Sm
6、+qmSn；裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即 an=f(n+1)f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、 = 等。)1(1)( CAnBCAnBan )1( 3错位相减法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错项相消法。, 其中 是等差数列， 是等比数列，记 ，则ncbanbnc nnn cbcbS121， 例如：求这个数列的前 n 项和： ,.),.(431211qSc 并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求 Sn。通项分解法 nnba（4）数列有关结论1.由 S
7、n求 an， an= 注意验证 a1是否包含在后面 an 的公式中，若不符合要单独),2()1*NSn列出。一般已知条件中含 an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑用上述公式；2.等差数列 ；*),2( 11 Nnadannnn 为 常 数 ） BnAsbann23.等比数列 ;q),(a 1-1-2n 4.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差 21d， 的最小公倍数.5.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前 n 项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；或者由 danS)2(12利用二次函数的性质来确定 n
8、的值，进而求出前 n 项0011nna或和最值。6.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前 n 项和公式，在用等比数列前 n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；7.等差数列中, a m=an+ (nm)d, ; 等比数列中，a n=amqn-m; q= ;mdnmna8.当 m+n=p+q（m、n、p 、qN ）时，对等差数列a n有：a m+an=ap+aq；对等比数列a n有：aman=apaq；9.若a n、b n是等差数列，则ka n+bbn(k、b、a 是非零常数)是等差数列；若a n、b n是等比数列，则ka n 、a nbn等也是等比数列；10.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等
9、长片断和序列” （如 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）数列；11.对等差数列a n,当项数为 2n 时，S 偶 S 奇 nd；项数为 2n1 时，S 奇 S 偶 a 中 （nN* ） ；12.若一阶线性递归数列 an=kan1 +b（k0,k1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；)(11kbkbnn三、典型例题例 1数列 中 ， ，求该数列的通项公式 。na1 )2(12nan na解：由 有： 故数列 是以 为)(21n 1nn )2(1n 2na1 4公比的等比数列，且首项为 121anna12评注：
10、一般地，形如 为非零常数， ，可变形为 ，其中qpn,()p)(1nnap，则 是一个公比为 的等比数列。1pq1pqan例 2设 是首项为 1 的正项数列，且 ，则其的通项公式 n )(0)1( *12Nnana na。解： ， 即 是各项为正的数列，0)(121nnaa)()(11nn na, 01nan1n aan143213421 na1n评注：本题先得到 ，再采用连乘，从而得到数列 的通项。当然，若将 变形1na na1na为 ，视 为整体，则 ， ， ， ，构成一个常数列，故nna1)(1a23n， 。例 3已知等差数列前三项为 ，4， ，前 n 项和为 ，若 (1)求 a 及 k
11、 的值；(2)求3nS250knSS112解：(1)设等差数列为 ，则 ， ，naa142250,3kSa由已知有 ， ，公差 ，代入 得843a12d dkak2)1(1即 （舍去） ，250)1(2k052k,5k50,(2)由 )1(,)(1nSdnSn21 1)1()312()()(32 nnn例 4、设数列 的前 n 项和 ，设 ，求证数列 是等比数列。a14NnaSn nab1b解：当 时， ， 当 时， ， ，113114nnaS143na 5， 而)2(341nan 1)34(nna 11 )34(2)34(2 nnnab,数列 是以 为首项， 为公比的等比数111)(9)()
12、(9 nnn 0)34(91nbnb9列。习题1.已知数列 的前 n 项和为 ,求数列 的通项公式.nanSn2na2.已知 ，求 及 nn311且 na3.已知 ， 求 及 1anS2() nS4.求和 . 3135.数列 1 2,3 4,5 8,7 6,(2n1)+ n2的前 n 项之和为 Sn，则 Sn 等于( )(A)n2+1 n(B)2n2n+1 1(C)n2+1 1(D)n2n+1 n6.求和: .314Sxx7.等差数列 a n中，已知 ， ，a n =33，则 n 为（ ）1a6(A)48 (B)49 (C)50 (D)518. 在等比数列 中, ,则n372,q19_.9.
13、和 的等比中项为( )23()1A)1B(C()2D10. 在等比数列 中， ， ，求 ，na254a811.在等比数列 中, 和 是方程 的两个根, 则 ( )n10210x47a 65()2A2()B1()2C1()2D12.已知等差数列 满足 ,则有( )na12310a10()a20()9()51a13. 已知数列 的前 项和 ，n nSn2求证:数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式14. 一个等差数列的前 12 项之和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32：27，求公差.15. 在等比数列 ，已知 ， ，求 .na51109a18a16.设数列 an为等差数列， Sn 为数列a n的前 n 项和，已知 S7=7，S 15=75,Tn 为数列 的前 n 项和，求 Tn.S17.三数成等比数列，若将第三个数减去 32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去 4，则又成等比数列，求原来三个数.18. 在
