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1、12.3 角平分线(2),角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,角的平分线的性质定理:,PDOA,PEOB, OC是AOB的平分线, PDPE,用数学语言表述:,复习回顾,1、请你写出角平分线性质定理的逆命题为: 2、这个命题是否正确?你能用逻辑推理的方法加以证明吗?试一试。,交流总结,到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上,证明: QDOA,QEOB(已知), QDOQEO90(垂直的定义) 在RtQDO和RtQEO中 QOQO(公共边) QD=QE RtQDORtQEO(HL) QODQOE 点Q在AOB的平分线上,已知:如图,QDOA,QEOB, 点D、E为垂足,QDQE
2、求证:点Q在AOB的平分线上,到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。, QDOA,QEOB,QDQE 点Q在AOB的平分线上,用数学语言表示为:,总结归纳:,角平分线性质定理的逆定理,角平分线的判定定理,1、如图,点P是菱形ABCD的对角线上一点,PEAB于点E,PFAD于点F,已知PF=5,则PE= 2、如图,点P到AOB两边的距离相等,若POB=30,则AOB=,学以致用,5,60,3、如图,已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F, 求证:点F在DAE的平分线上,证明:,过点F作FGAE于G,FHAD于H,FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上, FGAE,
3、FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上, FHAD, FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,巩固运用,请你总一总,通过刚才的练习,你认为角平分线的两个定理有什么区别?它们各有什么作用?,1、如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证:点P也在BAC的平分线上.,BM是ABC的角平分线,点P在BM上, PDAB, PEBC,PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PD=PF.,证明:过点P作PDAB于D,PEBC于E,PFAC于F,点P在BAC的平分线上.,试一试,通过本题的证明,你能得到一个关于三角形角平分线的什么结论?,三角
4、形的三条角平分线交于一点,并且交点到三角形三边的距离相等。,想一想,实践应用,1、如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?,拓展与延伸,2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,提示:由于没有限制在何处选址,你应怎样考虑?,D,通过本节课的学习,你有哪些收获? 与你的同伴交流一下。,课堂小结,1、关于三角形的角平分线的说法错误的是( ) A.两角平分线的交点在三角形内 B.两角平分线的交点在第三个角的平分线上 C.两角平分线的交点到三边的距离相等 D.两角平分线的交点到三个顶点的距离相等 2、如图,已知ABC中,C=90,AD为CAB的平分线,交BC于D,BC=5,BD=2则点D到AB的距离为 ( ),课堂延伸,D,3,3、如图,在ABC中,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F,且BECF。 求证:AD是ABC的角平分线。,变式训练: 若已知AD是ABC的角平分线。 求证:BECF。,课堂延伸,4、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,课堂延伸,再见,