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1、第二十四章 圆 第11课时,24.2.2 直线和圆的位置关系 （3）切线长定理,学习目标（1分钟）,1了解切线长的概念 2熟练掌握切线长定理，理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,自学指导（12分钟）,仔细阅读课本99页至100页内容，完成练习：,1.切线长：过圆外一点作圆的切线,_和_之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 2.如图,PM,PN是O的两条切线,切点分别是M,N. (1)OMP=_,ONP=_. (2)_,可证RtPOMRtPON(_), PM=_,OPM=_. 切线长的定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线 长_,这一点和圆心的连线平分_的夹角. 几何语言表述：
2、_ _，_. 3.三角形的内切圆:与三角形各边都_的圆叫做三角形的_圆.一个三角形_个内切圆. 4.内心:内切圆的圆心是三角形_的交点,叫做三角形的_.,这点,切点,90,90,OM=ON,OP=OP,PN,OPN,HL,相等,这两条切线,PM,PN是O的切线,切点分别是M,N.,PM=PN,OPM=OPN,相切,内切,三条角平分线,内心,只有1,在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.,切线与切线长有什么区别与联系呢？,切线长概念,切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线； 2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点。,是
3、几何图形,是一个数量,画一画：,切线长定理：,1、如何过O外一点P画出O的切线？,2、这样的切线能画出几条？,如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是O的切线。,P.,A,B,两条,3.如图,PA,PB为O的切线，切点分别为A，B.你能从图 中得出哪些结论？,B,A,P,O,C,E,D,切线长定理中的基本图形如图.,PA,PB为O的切线,切点分别为A，B. 此图形中含有:,(1)两个等腰三角形：_. (2)一条特殊的角平分线:_. (3)三个垂直关系:_. (4)三对全等的三角形:_. (5)相等的劣弧:_. (6)写出图中与OAC相等的角,图中相等的线段： OAC=_. _.,PAB,OAB
4、,OP平分APB和AOB,OAPA,OBPB,OPAB,AOPBOP，AOCBOC，ACPBCP,OBC=APC=BPC,OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.,o,外接圆圆心(外心)：三角形三边垂直平分线的交点。 外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离。,三角形外接圆,三角形内切圆,内切圆圆心(内心)：三角形三个内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。,A,A,B,B,C,C,三角形三边 中垂线的交 点,1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部,三角形三条 角平分线的 交点,1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC
5、、ACB 3.内心在三角形内部,填一填：,5.仔细阅读课本第100页的例题2. 注意解题格式！,完成课本100页练习.,2.解：如图，设ABC的内心为O，连接OA、OB、OC. 则SABC=SAOB+SBOC+SAOC,ABC的内切圆半径为r， ABC的周长为l. 则SABC= lr.,r,6.例题，已知:如图,O是RtABC的内切圆,D,E,F为切点,C是直角,AC=6,BC=8.求O的半径r.,解：连接OE,OF. 则OE=OF. 由勾股定理得, AB= =10. O是RtABC的内切圆, CE=CF,AD=AF,BD=BE, 设CE的长为x,则CF=x,BE=BD=8-x,AF=AD=6
6、-x. AB=AD+BD=6-x+8-x=14-2x, 即14-2x=10, 解得x=2,即CF=CE=2. O是RtABC的内切圆,E,F为切点, OFC=OEC=90,又C=90. 四边形OECF为矩形, 又OE=OF. 四边形OECF为正方形. CF等于RtABC的内切圆的半径,即r=2.,变式：已知直角三角形直角边为a,b，斜边为c，求直角三角形内切圆的半径r.,解：连接OE,OF. 则OE=OF. O是RtABC的内切圆, CE=CF,AD=AF,BD=BE, 设CE的长为x,则CF=x,BE=BD=a-x,AF=AD=b-x. AB=AD+BD=(a-x)+(b-x), 即(a-x
7、)+(b-x)=c, O是RtABC的内切圆,E,F为切点, OFC=OEC=90,又C=90. 四边形OECF为矩形, 又OE=OF. 四边形OECF为正方形. CF等于RtABC的内切圆的半径,c,b,a,解得x= ,即CF=CE= .,即r= .,已知:如图,O是RtABC的内切圆, C是直角, AC=3, BC=4. 则O的半径r= .,1,变式：已知直角三角形直角边为a,b，斜边为c，求直角三角形内切圆的半径r.,c,b,a,ABC的内切圆半径为r， ABC的周长为l. 则SABC= lr.,l=a+b+c,SRtABC= ab,lr= ab,(a+b+c)r=ab,已知:如图,O是
8、RtABC的内切圆,C是直角,AC=3,BC=4. 则O的半径r= .,1,7.例题，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？,这样截出的圆的面积是最大吗？,已知：ABC. 求作：和ABC的各边都相切的圆.,作法： 1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作ODBC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O.,O就是所求的圆.,解：如图，,自学检测（12分钟） 1.判断： (1)三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ） (2)三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ） (3)等边三角形的内心和外心重合 （ ） (4)三角形的内心一
9、定在三角形的内部（ ） (5)菱形一定有内切圆（ ） (6)矩形一定有内切圆（ ) (7)经过一点一定有两条切线.( ) (8)切线的长度就是切线长.( ) (9)任何三角形都有内切圆. ( ) (10)等边三角形的内心就是外心. ( ) 2.PA,PB分别切O于点A,B,AOP=70,则APB=_. 3.如图,PA,PB分别切O于点A,B,点E是O上一点, 且AEB=60,则P=_. 4.如上题图,若PA,PB分别切O于点A,B, 连接AB,若PAB=40,则PBA=_.,40,60,40,5. 如图，在ABC中，点O是内心， 若ABC=50，ACB=70，求BOC的度数；,若A=80度，则
10、BOC= ； 若BOC=110度，则A= ；,130 ,40 ,猜想A和BOC之间有什么数量关系？,外心,120 ,BOC=900+ A,6.如图,PA,PB是O的切线,A,B为切点,AC是O的直径,AC,PB的延长线相交于点D. (1)若1=20,求APB的度数. (2)若1=30,求证:OP=OD. (3)在(2)中,若AD=30,请你求出O的半径.,7.如图，AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO6cm，CO8cm. 求BC的长.,8.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少?,45,30,9.如图，点A是一个半径为300m的圆形森林公园的中心，在森
11、林公园附近有B，C两村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通, 现测得ABC=45, ACB= 30问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明,不会穿过该森林公园.,M,N,P,Q,A,10.如图,公路MN和PQ在P处交汇, 且QPN=300 , 点A处有一所中学, AP=160米, 假设拖拉机行使时, 周围100米以内会受到噪音的影响, 已知拖拉机的速度为18千米时, 那么学校会受到影响吗? 如果会, 受到影响的时间多长?,B,C,学校会受到影响,受到影响的时间为24s.,11.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇
12、的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，ACBC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？,12.如图，PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，P=40. 则 PDE的周长是 ； DOE= .,14,70,13.直角三角形的两直角边分别是3cm ,4cm,试问： （1）它的外接圆半径是 cm; 内切圆半径是 cm. （2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围.,2.5,1,解：如图所示，设与BC、AC相切的
13、最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.,OBBC3，,半径r的取值范围为0r3.,小结（5分钟）,一、概念、定理：,1、过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.,2、切线长的定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,3.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.一个三角形只有一个内切圆.内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点,叫做三角形的内心.,二、方法、规律：,1、在应用切线长定理时，常作出如图的辅助线，结合等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理等.,2、已知三角形
14、的内心时，连接顶点和内心就是角平分线.,三、易错点：,如右图，若AB=AC，AB与O相切于点B.那么，AC也是O的切线. 注意：这是正确的，但不是定理，解答题时不能直接用！,B,A,P,O,C,E,D,四、切线长定理中的基本图形如图.,PA,PB为O的切线,切点分别为A，B. 此图形中含有:,(1)两个等腰三角形：_. (2)一条特殊的角平分线:_. (3)三个垂直关系:_. (4)三对全等的三角形:_. (5)相等的劣弧:_. (6)写出图中与OAC相等的角,图中相等的线段： OAC=_. _.,PAB,OAB,OP平分APB和AOB,OAPA,OBPB,OPAB,AOPBOP，AOCBOC，ACPBCP,OBC=APC=BPC,OA=OB=OD=
