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1、2017 中考试题汇编-二次函数(2017 贵州铜仁)25 （14 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（1，0） ，B（0，2） ，并与 x 轴交于点 C，点 M 是抛物线对称轴 l 上任意一点（点M，B，C 三点不在同一直线上） （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在抛物线上找出两点 P1，P2，使得MP1P2与MCB 全等，并求出点P1，P2的坐标；（3）在对称轴上是否存在点 Q，使得BQC 为直角，若存在，作出点 Q（用尺规作图，保留作图痕迹） ，并求出点 Q 的坐标【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）分三种情况：当P1MP2CMB 时，取对
2、称点可得点 P1，P2的坐标；当BMCP2P1M 时，构建P2MBC 可得点 P1，P2的坐标；P1MP2CBM，构建MP1P2C，根据平移规律可得 P1，P2的坐标；（3）如图 3，先根据直径所对的圆周角是直角，以 BC 为直径画圆，与对称轴的交点即为点 Q，这样的点 Q 有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明BDQ1Q1EC，列比例式，可得点 Q 的坐标【解答】解：（1）把 A（1，0） ，B（0，2）代入抛物线 y=x2+bx+c 中得：，解得：，抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x2x2；（2）如图 1，P1与 A 重合，P2与 B 关于 l 对称，MB=P2M，P1M=CM，P1
3、P2=BC，P1MP2CMB，y=x2x2=（x）2，此时 P1（1，0） ，B（0，2） ，对称轴：直线 x=，P2（1，2） ；如图 2，MP2BC，且 MP2=BC，此时，P1与 C 重合，MP2=BC，MC=MC，P2MC=BP1M，BMCP2P1M，P1（2，0） ，由点 B 向右平移个单位到 M，可知：点 C 向右平移个单位到 P2，当 x=时，y=（）2=，P2（，） ；如图 3，构建MP1P2C，可得P1MP2CBM，此时 P2与 B 重合，由点 C 向左平移 2 个单位到 B，可知：点 M 向左平移 2 个单位到 P1，点 P1的横坐标为，当 x=时，y=（）2=4=，P1（
4、，） ，P2（0，2） ；（3）如图 3，存在，作法：以 BC 为直径作圆交对称轴 l 于两点 Q1、Q2，则BQ1C=BQ2C=90；过 Q1作 DEy 轴于 D，过 C 作 CEDE 于 E，设 Q1（，y） （y0） ，易得BDQ1Q1EC，=，y2+2y=0，解得：y1=（舍） ，y2=，Q1（，） ，同理可得：Q2（，） ；综上所述，点 Q 的坐标是：（，）或（，） 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问题；
5、（3）分类讨论本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次函数的对称性，再结合相似三角形、方程解决问题是关键(2017 湖南)27 （12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 为边 AB 上一动点，连结 CE 并将其绕点 C 顺时针旋转 90得到 CF，连结 DF，以 CE、CF 为邻边作矩形 CFGE，GE 与 AD、AC 分别交于点 H、M，GF 交 CD 延长线于点N（1）证明：点 A、D、F 在同一条直线上；（2）随着点 E 的移动，线段 DH 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结 EF、MN，当 MNEF 时，求 AE 的长【分析】 （
6、1）由DCFBCE，可得CDF=B=90，即可推出CDF+CDA=180，由此即可证明（2）有最小值设 AE=x，DH=y，则 AH=1y，BE=1x，由ECBHEA，推出=，可得=，推出 y=x2x+1=（x）2+，由 a=10，y 有最小值，最小值为（3）只要证明CFNCEM，推出FCN=ECM，由MCN=45，可得FCN=ECM=BCE=22.5，在 BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则BGE 是等腰直角三角形，设 BE=BG=a，则 GC=GE=a，可得 a+a=1，求出 a 即可解决问题；【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形，CD=CB，BCD=B=ADC=90，CE
7、=CF，ECF=90，ECF=DCB，DCF=BCE，DCFBCE，CDF=B=90，CDF+CDA=180，点 A、D、F 在同一条直线上（2）解：有最小值理由：设 AE=x，DH=y，则 AH=1y，BE=1x，四边形 CFGE 是矩形，CEG=90，CEB+AEH=90CEB+ECB=90，ECB=AEH，B=EAH=90，ECBHEA，=，=，y=x2x+1=（x）2+，a=10，y 有最小值，最小值为DH 的最小值为（3）解：四边形 CFGE 是矩形，CF=CE，四边形 CFGE 是正方形，GF=GE，GFE=GEF=45，NMEF，GNM=GFE，GMN=GEF，GMN=GNM，G
8、N=GM，FN=EM，CF=CE，CFN=CEM，CFNCEM，FCN=ECM，MCN=45，FCN=ECM=BCE=22.5，在 BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则BGE 是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则 GC=GE=a，a+a=1，a=1，AE=ABBE=1（1）=2【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题(2017 辽宁)28 （14 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x
9、2+bx+c的图象与坐标轴交于 A，B，C 三点，其中点 A 的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（4，0） ，连接 AC，BC动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒连接 PQ（1）填空：b= ，c= 4 ；（2）在点 P，Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 M，使PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形
10、？若存在，请求出运动时间 t；若不存在，请说明理由；（4）如图，点 N 的坐标为（，0） ，线段 PQ 的中点为 H，连接 NH，当点Q 关于直线 NH 的对称点 Q恰好落在线段 BC 上时，请直接写出点 Q的坐标【分析】 （1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3） （x4） 将 a=代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出 b、c 的值；（2）连结 QC先求得点 C 的坐标，则 PC=5t，依据勾股定理可求得AC=5，CQ2=t2+16，接下来，依据 CQ2CP2=AQ2AP2列方程求解即可；（3）过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、Q 作 MDDE、QEDE，垂足分别为 D、E，MD 交
11、 x 轴与点 F，过点 P 作 PGx 轴，垂足为点 G，首先证明PAGACO，依据相似三角形的性质可得到 PG=t，AG=t，然后可求得PE、DF 的长，然后再证明MDPPEQ，从而得到 PD=EQ=t，MD=PE=3+t，然后可求得 FM 和 OF 的长，从而可得到点 M 的坐标，然后将点 M 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR，延长 NR 交线段 BC 与点Q首先依据三角形的中位线定理得到RH=QO=t，RHOQ，NR=AP=t，则 RH=NR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明 NH 是QNQ的平分线，然后求得直线 N
12、R 和BC 的解析式，最后求得直线 NR 和 BC 的交点坐标即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x+3） （x4） 将 a=代入得：y=x2+x+4，b=，c=4（2）在点 P、Q 运动过程中，APQ 不可能是直角三角形理由如下：连结 QC在点 P、Q 运动过程中，PAQ、PQA 始终为锐角，当APQ 是直角三角形时，则APQ=90将 x=0 代入抛物线的解析式得：y=4，C（0，4） AP=OQ=t，PC=5t，在 RtAOC 中，依据勾股定理得：AC=5，在 RtCOQ 中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在 RtCPQ 中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2CP2，在
13、RtAPQ 中，AQ2AP2=PQ2，CQ2CP2=AQ2AP2，即（3+t）2t2=t2+16（5t）2，解得：t=4.5由题意可知：0t4，t=4.5 不合题意，即APQ 不可能是直角三角形（3）如图所示：过点 P 作 DEx 轴，分别过点 M、Q 作 MDDE、QEDE，垂足分别为D、E，MD 交 x 轴与点 F，过点 P 作 PGx 轴，垂足为点 G，则 PGy 轴，E=D=90PGy 轴，PAGACO，=，即=，PG=t，AG=t，PE=GQ=GO+OQ=AOAG+OQ=3t+t=3+t，DF=GP=tMPQ=90，D=90，DMP+DPM=EPQ+DPM=90，DMP=EPQ又D=
14、E，PM=PQ，MDPPEQ，PD=EQ=t，MD=PE=3+t，FM=MDDF=3+tt=3t，OF=FG+GO=PD+OAAG=3+tt=3+t，M（3t，3+t） 点 M 在 x 轴下方的抛物线上，3+t=（3t）2+（3t）+4，解得：t=0t4，t=（4）如图所示：连结 OP，取 OP 的中点 R，连结 RH，NR，延长 NR 交线段BC 与点 Q点 H 为 PQ 的中点，点 R 为 OP 的中点，RH=QO=t，RHOQA（3，0） ，N（，0） ，点 N 为 OA 的中点又R 为 OP 的中点，NR=AP=t，RH=NR，RNH=RHNRHOQ，RHN=HNO，RNH=HNO，即
15、 NH 是QNQ的平分线设直线 AC 的解析式为 y=mx+n，把点 A（3，0） 、C（0，4）代入得：，解得：m=，n=4，直线 AC 的表示为 y=x+4同理可得直线 BC 的表达式为 y=x+4设直线 NR 的函数表达式为 y=x+s，将点 N 的坐标代入得：（）+s=0，解得：s=2，直线 NR 的表述表达式为 y=x+2将直线 NR 和直线 BC 的表达式联立得：，解得：x=，y=，Q（，） 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，依据勾股定理列出关于 t 的方程是解答问题（2）的关键；求得点 M 的坐标（用含 t 的式子表示）是解答问题（3）的关键；证得 NH 为QHQ的平分线是解答问题（4）的关键(
