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1、逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用 摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩 阵理论中一个非常重要的概念。关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重 要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩 阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方 面的应用。 关键词：矩阵 逆矩阵 逆矩阵的求法 逆矩阵的应用 The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathe
2、matics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definiti
3、on and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix 一：
4、引言一：引言 在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。在矩阵理论中，逆矩阵又一 个非常重要的概念。本文将对矩阵可逆性的由来及逆矩阵的定义、性质、判定方法进 行探讨，并进一步了解逆矩阵在现代数学中的应用，以激发学生的学习兴趣，让学生 进一步了解逆矩阵的应用，从而提高教育教学质量。 二：矩阵的逆的定义二：矩阵的逆的定义 对于 n矩阵 A，如果存在一个 n矩阵 B，使得 AB=BA=E（E 为单位矩阵） ，那nn 么说矩阵 A 可逆，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。记 A 的逆矩阵为 A. 1 三：可逆矩阵的性质三：可逆矩阵的性质 1、如果矩阵 A、B 均可逆,那么矩阵 AB 可逆，其逆矩阵
5、为 B 1 A 1 .（推广：如果 矩阵 A1 ，A2 , An 均可逆,那么矩阵 A1A2An可逆，其逆阵为 An 1 A2 1 A1 1 ） 2、如果 A 可逆，那么 1 A 可逆，且=A； 1 A 1 3、如果 A 可逆，那么 T A 可逆，且. 1 1 T T AA 4、.A()() 11 A 5、如果 A 可逆，数 0 ，那么 A 可逆，且； 1 1 1 AA 6、如果矩阵 A 的逆存在，那么该逆矩阵唯一。 以上结论见文献1 四：矩阵可逆的几种判别方法四：矩阵可逆的几种判别方法 设矩阵 A 为 n 阶方阵，那么 A 可逆的充要条件有： 1、存在 n 阶方阵 B，使得 AB=I； 2、
6、对 PAQ=，其中 P 为 s矩阵，Q 为 nm 矩阵，r（A）=n； 0 00 I n 3、 0A ； 4、是非退化矩阵.A 5、A 的行向量（列向量）组线性无关； 6、A 可由一系列初等矩阵的乘积表示； 7、A 可经过一系列初等行变换（列变换）化成单位矩阵 I； 8、齐次线性方程组 AX=0 只有零解. 以上结论见文献1 8 五：逆矩阵的几种求法五：逆矩阵的几种求法 （一）定义法 定义：矩阵 A 为 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B，使得 AB=E,那么称 A 可逆，称 B 为 A 的逆矩阵，记为 1 A . 求矩阵 012 114 210 A 的逆矩阵. 解 ： 因为 A 0,所以
7、1 A 存在.设 111213 1 212223 313233 xxx Axxx xxx , 由定义知 1 A A=E,所以 012 114 210 111213 212223 313233 xxx xxx xxx = 100 010 001 . 由矩阵乘法得 213122322333 112131122232132333 112112221323 222 444 222 xxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx = 100 010 001 . 由矩阵相等可解得 11 21 31 2 4 3 2 x x x ; 12 22 32 1 2 1 x x x ; 13 23 33 1 1 1
8、2 x x x . 故 1 211 421 31 1 22 A （二）伴随矩阵法 定理：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A非退化.且，其 11211 122221 12 1 n n nnnn AAA AAA A A AAA 中，Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵称为矩阵A的伴随矩阵， 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA AAA 记作A*，即有A-1 = A*. 1 |A| 该定理见文献1 注注 此方法适用于计算阶数较低矩阵（一般不超过 3 阶）的逆，或用于元素的代数 余子式易于计算的矩阵求逆。注意 A* = （Aji）nn的元素位置以及各元素的符号。 特别地
9、，对于 2 阶方阵 1112 2122 aa A aa ，其伴随矩阵为 2212 2111 * aa A aa . 对于分块矩阵，上述求伴随矩阵的规律不适用. AB CD 例 2：已知，求 A-1. 13 12 A 解: = -1 0 A 可逆.由已知得A 1112 2122 A = 2, A =1, A = 3, A =1 A-1 = A* = 1 |A| 2323 1111 （三）行(列)初等变化法 设 n 阶矩阵 A，作 n2n 矩阵，对该矩阵作初等行变换，如果把子块 A 变为 n I ， 那么子块 n I 变为 1 A ，即由A,E作初等行变换得E,A-1，所得的 1 A 即为 A 的
10、逆矩 阵. 注注 对于阶数较高的矩阵（n3） ，用初等行变换法求逆矩阵，一般比用伴随矩阵 法简便.用上述方法求逆矩阵，只允许作初等行变换. 也可以利用求得 A 的逆矩阵. 1 EA EA 初等列变换 若矩阵 A 可逆，可利用 1 1 E A BE A, C A B CA 初等行变换初等列变换 得 A-1B 和 CA-1.这一方法的优点是不需求出 A 的逆矩阵和进行矩阵乘法仅通过初等变 换，即求出了 A-1B 或 CA-1. 例 3：用初等行变换求矩阵的逆矩阵. 223 A110 121 解： 223100110010110010 A E110010223100011011 1210011210
11、01043120 101021100143 011011010153 001164001164 所以 1 143 153 164 A （四）用Cramer法则求矩阵的逆 若线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 的系数行列式 |0 ij n Da ，则此方程组有 唯一的一组解 12 12 , , , n n DDD xxx DDD .这里 i D 是将D中的第 i 列 1, , ini aa 换成 1, , n bb 得到的行列式. 定理1 若以 = (1 , 0 , 0 , ,
12、 0), = (0 , 1 , 0 , , 0), , = (0 , 1 2 3 0 , 1) 表示Fn(Fn表示数域F上的n维行向量空间)上的一组标准基,那么Fn中任一 向量= (a1 , a2 , , an )都能且只能表示为: =a1 + a2 + an的 1 2 n 形式,这里aiF(i = 1 , 2 , , n). 定理2 若称矩阵A与矩阵B相乘所得的矩阵为AB，以A的第i行右乘以B，其乘积即为矩 阵AB的第i行. 求矩阵的逆可用以下方法:令n阶可逆矩阵A=(aij),A的行向量分别为 1 , 其中=(a11,a12,a1n),(i=1,2,n),由定理1得: 2 n 1 =aij
13、(i = 1 , 2 , , n) ，解方程组（, , , 为未知量）,由于系数行 1 j 1 2 n 列式 D=|A| 0 (因为A 可逆),所以, 由Cramer法则可得唯一解: = bj1+ j j D D 1 bj2+ + bjn(j = 1 , 2 , , n) .其中Dj是用方程组的常数项1 ,2,n替 2 n 换行列式D的第j列的元素得到的n阶行列式.由定理2可得: BA = I ( I 为单位矩阵), 从而有A-1= B.其中B=(bij). 以上定理见文献1、 7 、8 下面举例说明这种方法. 例4：求矩阵的逆矩阵. 111 022 110 A 解：矩阵A的行向量为，由标准基表示为： 123 , 123 , 1123 223 312 22 解以 123 , 为未知量的方程组得： 1123 2123 3123 112 363 111 363 111 333 所以 1 112 363 111 363 111 333 A （五）解方程组求逆矩阵 由可逆矩阵的上三角(下三角)矩阵的逆仍为上三角(下三角)矩阵,且对于上(下) 三角矩阵的逆矩阵，其
