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1、学校代码：学校代码： 10722 学号：学号： 1006024112 分类号：分类号： O151.21 密级：密级： 公开 题 目： 正定矩阵的判定、性质及其应用 Discussion on Determinant,Positive and Application of Positive Definite Matrix作作 者者 姓姓 名：名： 专专 业业 名名 称：称： 学学 科科 门门 类：类： 指指 导导 老老 师：师： 提交论文日期：提交论文日期： 2014 年 5 月 成成 绩绩 评评 定定: : 摘摘 要要在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的
2、概念。事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的 7 条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。关键词关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质Abstract We have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positiv
3、e definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive de
4、finite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.目目 录录摘 要 .IAbstrac
5、t.II目录.III引言11 正定矩阵的定义11.1 正定二次型的定义.11.2 正定矩阵的定义.12 正定矩阵的判定23 正定矩阵的性质64 正定矩阵的应用64.1 正定矩阵在证明不等式中的应用.64.2 正定矩阵在数学分析中的应用.74.3 正定矩阵的其他应用 .8小结9参考文献.10谢 辞11引言引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。在古代，西尔维斯特为了将数字矩形阵列和行列式区别开来，他便创立了“矩阵” ，
6、而后由凯莱第一个明确了“矩阵”这个术语的确切意思。事实上，早在我国古代就已经对矩阵有所研究了。1在公元前 1 世纪，在九章算术中矩阵形式解方程组已经非常成熟了，但是在那个时代矩阵只是被人们看做是一种解题的方法，而“矩阵”这一概念并没有被独立起来，形成一个统一完整的体系。矩阵在求解线性方程组和行列式计算等问题中得以广泛应用是在 18 世纪末的时候，并且从那时起矩阵思想才得到进一步的发展。2矩阵论中正定矩阵有着十分重要的地位。3历史上，在对于二次型和Hermite 型的探究中最早出现了对正定矩阵的详细探究。二次齐次多项式是代数研究中另外一种非常重要的多项式，二次齐次多项式在数学的大多数分支中都有重
7、要的应用，而且在解答与物理问题相关的内容中大家也会经常碰到需要运用正定二次型作解。正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系数可以直接写出正定矩阵。因此，无论是在研究中还是实际的应用中正定二次型和正定矩阵都有重要的意义。4如今，矩阵已经成为了处理有限空间和数量关系的重要的工具。正定矩阵在矩阵的研究中占有十分重要的地位，对于正定矩阵的研究有利于我们日后更加详尽的研究二次型、线性空间和线性变换。下面我首先介绍正定矩阵的定义。1 正定矩阵的定义1.1 正定二次型的定义定义 15：在实二次型中若对于任意一组不全为零的实数nxxxf,21 都有，则称该二次型为正定的;若，nccc,21
8、0,21nxxxf0,21nxxxf则称为半正定二次型；若，则称为负定二次型；若f0,21nxxxff，则称为半负定二次型；若实二次型既不是半正定又不是半0,21nxxxff负定的则称为不定二次型。 1.2 正定矩阵的定义定义 2：若实二次型正定，则称实对称阵正定;若实二nxxxf,21AXXTA次型半正定，则称实对称阵半正定；若实二次型AXXxxxfT n,21A负定，则称实对称阵负定；若实二次型AXXxxxfT n,21A半负定，则称实对称阵半负定；若实二次型AXXxxxfT n,21A不定，则称实对称阵不定。AXXxxxfT n,21A事实上，正定二次型与元数有关系，例如 当作为二元实二
9、次型时2 22 1xx正定（取任何不为零的数即可） ；但当作为三元实二次型时不正定（取，01x，则结果不满足6 ） 。02x13x2 正定矩阵的判定定理定理 1 17： 元实二次型是正定的充要条件是它的标准nnxxxf,21AXXT形的系数全为正。证: 因为 = 对作合同变换，即Annnnnnaaaaaaaaa212222111211AnnnnnnnnnnnnnbbbdbbbdbbbdaaaaaaaaaEA21222212112111212222111211111取作非线性退化，则实二次型的标准形为 nnnnnnbbbbbbbbbC212222111211CYX nxxxf,2122 222
10、11nnydydyd又因为为正定矩阵且正定矩阵作非退化线性替换其正定型不变，即A也是正定矩阵。则， ndd1 1d01d21 dd021dd即， ， ，所以实二次型的标ndd1 01ndd 01d02d0nd准形的系数全为正。定理定理 2 28：元实二次型是正定的充要条件是它的正惯性nAXXxxxfT n,21指数为。n证：因为是正定的，所以矩阵是正定矩阵，则 AXXxxxfT n,21A AXXxxxfT n,21 那么可化为，且AXXxxxfT n,21nxxxf,2121iinixa 由此可得，正惯性指数为。0iani, 2 , 1n反之，若该元实二次型的正惯性指数为，且为对称nAXXx
11、xxfT n,21nA矩阵，根据定理 1 可得矩阵为正定矩阵。A推论推论：实对称矩阵正定的充要条件是的正惯性指数等于的级数。AAA定理定理 3 3：阶实对称矩阵是正定的充要条件是二次型的nAAXXxxxfT n,21 秩与符号差均为。n证：必要性 因为是实对称正定矩阵，所以实对称矩阵所对应的实二次AA型的正惯性指数为、负惯性指数 0，从而可得实二次型符号差为。nn因为矩阵的主对角线上的元素对应元实二次型的系数，AnAXXxxxfT n,21 又矩阵为正定矩阵，所以正定矩阵的主对角线上的所有数全部大于零，进AA而可推出正定矩阵的秩为。An充分性 因为二次型的秩与符号差均为，所以AXXxxxfT
12、n,21n正惯性指数为，从而由定理 2 可得矩阵为正定矩阵。AXXxxxfT n,21nA定理定理 4 49：阶实对称矩阵是正定的充要条件是与单位矩阵合同，即存在nAAE实可逆矩阵，使的。CCCAT证：阶实对称矩阵正定的充要条件是元实二次型正nAnAXXxxxfT n,21 定，当且仅当的正惯性指数为，当且仅当与单位矩阵合同。AnAE定理定理 5 5：阶实对称矩阵是正定的充要条件是的顺序主子式n nmijaAA0证：必要性 设实二次型是正定的。将任意一组nxxxf,21 ninjjiijxxa11不全为零的实数代入实二次型,有nccc21, ninjjiijnxxaxxxf1121,。因此，是
13、正定ninjjiijnyccacccf1121,000 ,1nccfnyxxxf21,二次型的。由此，的矩阵的行列式,。这就证yf0212222111211kkkkkkaaaaaaaaank2 , 1明了矩阵的顺序主子式全大于 0。A充分性 对作第二数学归纳法n（1）设当时，=，由题可得 ,则易得是正定的。1n ixf2 111xa011a ixf（2）假设当时，命题成立。1 mn（3）下面证明元时的情形：n令， 1, 12, 11 , 11, 222211, 112111nnnnnnaaaaaaaaaA nnnaa a1于是矩阵可以写成A nnTaaaAA1因为的顺序主子式全大于零，从而的顺序主子式也全大于零。A1A由假设是正定矩阵，则存在一个可逆的阶矩阵，使得 1A1nG11nTEGAG令，于是 1001GC 10011T TGACC nnTaaaA1 100G nnTT n aGaaGE1再令 ，有 101 2aGECT n= 101 2112GaECACCCTnTT nnTT n aGaaGE1 101aGET n aGGaaETT nnn 001令 ， 就有 ，进而有21CCC aaGGaaTT nnACCTa11aAC2由条件，因此。显然：0A0a=a11
