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1、1 高中必修一一些重点高中必修一一些重点 函数值域求法十一种.2 复合函数.9 一、复合函数的概念 .9 二、求复合函数的定义域： .9 复合函数单调性相关定理.10 函数奇偶性的判定方法.10 指数函数：.12 幂函数的图像与性质.15 2 函数值域求法十一种函数值域求法十一种 1. 直接观察法直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 1. 求函数x 1 y 的值域。 解： 0x 0 x 1 显然函数的值域是： ), 0() 0 , ( 例 2. 求函数 x3y 的值域。 解： 0x 3x3 , 0x 故函数的值域是： 3 , 2. 配方法配方法 配方法是求二次函数值域
2、最基本的方法之一。 例 3. 求函数 2 , 1x, 5x2xy 2 的值域。 解：将函数配方得： 4) 1x(y 2 2 , 1x 由二次函数的性质可知：当 x=1 时， 4ymin ，当1x时， 8ymax 故函数的值域是：4，8 3. 判别式法判别式法 例 4. 求函数 2 2 x1 xx1 y 的值域。 解：原函数化为关于 x 的一元二次方程 0x) 1y(x) 1y( 2 （1）当 1y 时，Rx 0) 1y)(1y(4) 1( 2 解得：2 3 y 2 1 （2）当 y=1 时， 0x ，而 2 3 , 2 1 1 故函数的值域为 2 3 , 2 1 例 5. 求函数 )x2(xx
3、y 的值域。 解：两边平方整理得： 0yx) 1y(2x2 22 （1） Rx 0y8) 1y(4 2 解得： 21y21 但此时的函数的定义域由 0)x2(x ，得 2x0 由 0 ，仅保证关于 x 的方程： 0yx) 1y(2x2 22 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间0，2上， 即不能确保方程（1）有实根，由 0 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 2 3 , 2 1 。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 3 2x0 0)x2(xxy 21y, 0ymin 代入方程（1） 解得： 2 , 0 2 2222 x 4 1 即当2 2222 x 4
4、 1 时， 原函数的值域为： 21 , 0 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔 除。 4. 反函数法反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 6. 求函数6x5 4x3 值域。 解：由原函数式可得： 3y5 y64 x 则其反函数为：3x5 y64 y ，其定义域为：5 3 x 故所求函数的值域为： 5 3 , 5. 函数有界性法函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例 7. 求函数1e 1e y x x 的值域。 解：由原函数式可
5、得： 1y 1y ex 0ex 0 1y 1y 解得： 1y1 故所求函数的值域为 ) 1 , 1( 例 8. 求函数3xsin xcos y 的值域。 解：由原函数式可得： y3xcosxsiny ，可化为： y3)x(xsin1y2 即 1y y3 )x(xsin 2 Rx 1 , 1)x(xsin 即 1 1y y3 1 2 解得：4 2 y 4 2 故函数的值域为 4 2 , 4 2 4 6. 函数单调性法函数单调性法 例 9. 求函数 )10x2(1xlog2y 3 5x 的值域。 解：令 1xlogy,2y 32 5x 1 则21 y,y 在2，10上都是增函数 所以21 yyy
6、在2，10上是增函数 当 x=2 时，8 1 12log2y 3 3 min 当 x=10 时， 339log2y 3 5 max 故所求函数的值域为： 33, 8 1 例 10. 求函数 1x1xy 的值域。 解：原函数可化为： 1x1x 2 y 令 1xy, 1xy 21 ，显然21 y,y 在 , 1 上为无上界的增函数 所以1 yy ，2 y 在 , 1 上也为无上界的增函数 所以当 x=1 时，21 yyy 有最小值 2，原函数有最大值 2 2 2 显然 0y ，故原函数的值域为 2, 0( 7. 换元法换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三
7、角函数公式模型，换元法是数 学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例 11. 求函数 1xxy 的值域。 解：令 t1x ， )0t ( 则 1tx 2 4 3 ) 2 1 t (1tty 22 又 0t ，由二次函数的性质可知 当 0t 时， 1ymin 当 0t 时， y 故函数的值域为 ), 1 例 12. 求函数 2 ) 1x(12xy 的值域。 解：因 0) 1x(1 2 即 1) 1x( 2 故可令 , 0,cos1x 1cossincos11cosy 2 1) 4 sin(2 4 5 4 0 , 0 211) 4 sin(20 1) 4 sin( 2 2 5
8、 故所求函数的值域为 21 , 0 例 13. 求函数1x2x xx y 24 3 的值域。 解：原函数可变形为： 2 2 2 x1 x1 x1 x2 2 1 y 可令 tgx ，则有 2 2 2 2 cos x1 x1 ,2sin x1 x2 4sin 4 1 2cos2sin 2 1 y 当82 k 时，4 1 ymax 当82 k 时，4 1 ymin 而此时 tan 有意义。 故所求函数的值域为 4 1 , 4 1 例 14. 求函数 ) 1x)(cos1x(siny ， 2 , 12 x 的值域。 解： ) 1x)(cos1x(siny 1xcosxsinxcosxsin 令 txc
9、osxsin ，则 ) 1t ( 2 1 xcosxsin 2 22 ) 1t ( 2 1 1t) 1t ( 2 1 y 由 )4/xsin(2xcosxsint 且 2 , 12 x 可得： 2t 2 2 当 2t 时， 2 2 3 ymax ，当2 2 t 时，2 2 4 3 y 故所求函数的值域为 2 2 3 , 2 2 4 3 。 例 15. 求函数 2 x54xy 的值域。 解：由 0x5 2 ，可得 5|x| 故可令 , 0,cos5x 4) 4 sin(10sin54cos5y 0 4 5 44 当 4/ 时， 104ymax 当 时， 54ymin 故所求函数的值域为： 104
10、 ,54 6 8. 数形结合法数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法， 往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例 16. 求函数 22 )8x()2x(y 的值域。 解：原函数可化简得： |8x|2x|y 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ， )8(B 间的距离之和。 由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， 10|AB|8x|2x|y 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， 10|AB|8x|2x|y 故所求函数的值域为： ,10 例 17. 求函数 5x4x13x6xy 22 的值域。 解：原
11、函数可变形为： 2222 ) 10()2x()20()3x(y 上式可看成 x 轴上的点 )0 , x(P 到两定点 ) 1, 2(B),2 , 3(A 的距离之和， 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， 43) 12()23(|AB|y 22 min ， 故所求函数的值域为 ,43 例 18. 求函数 5x4x13x6xy 22 的值域。 解：将函数变形为： 2222 ) 10()2x()20()3x(y 上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 ) 1 , 2(B 到点 )0 , x(P 的距离之差。 即： |BP|AP|y 由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上
12、且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成ABP，根据三角形两边之 差小于第三边，有 26) 12()23(|AB| BP| AP| 22 即： 26y26 （2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 26|AB|BP|AP| 综上所述，可知函数的值域为： 26,26( 注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时， 则要使 A，B 两点在 x 轴的同侧。 如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， ) 1, 2( ，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B 两点坐标分别为（3，2） ， )
13、 1, 2( ，在 x 轴的同侧。 9. 不等式法不等式法 利用基本不等式 abc3cba,ab2ba 3 )Rc, b, a ( ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求 7 积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 19. 求函数 4) xcos 1 x(cos) xsin 1 x(siny 22 的值域。 解：原函数变形为： 5 2xcotxtan3 xcotxtan3 xsecxces1 xcos 1 xsin 1 )xcosx(siny 223 22 22 22 22 当且仅当 xcotxtan 即当4 kx 时 )zk( ，等号成立 故原函数的值域为： ), 5 例 20. 求函数 x2sinxsin2y 的值域。 解： xcosxsinxsin4y xcosxsin4 2 27 64 3/ )xsin22xsinx(sin8 )xsin22(xsinxsin8 xcosxsin16y 3222 222 24 当且仅当 xsin22xsin 22 ，即当3 2 xsin 2 时，等号成立。 由27 64 y2 可得：9
