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1、1第一章第一章行列式行列式1 行列式的概念行列式的概念1 填空(1) 排列 6427531 的逆序数为 ，该排列为 排列。(2) = ， = 时， 排列 1274 569 为偶排列。ijij(3) 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列n的 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么n列标构成一个元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为n偶排列，该项的符号为 号。(4) 在 6 阶行列式中， 含的项的符号为 ，含152332445166a a a a a a的项的符号为 。324314516625a a a a a a2 用行列式的定义计算
2、下列行列式的值(1) 112223323300 0 0a aa aa解： 该行列式的项展开式中，有 项不为零，它们分别为 3!，所以行列式的值为 。(2) 12,121,21,11,12,1000 000nnnnnnnnnnn nnna aaaaa aaaa 解：该行列式展开式中唯一不可能为 0 的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。3 证明：在全部元排列中，奇排列数与偶排列数相等。n证明：元排列共有个，设其中奇排列数有个，偶排列数为个。对于任意奇排n! n1n2n列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有 ，同理得 ，所以 。1n2n2n1n1n2n
3、24 若一个阶行列式中等于 0 的元素个数比多，则此行列式为 0，为什么？nnn 25阶行列式中，若负项的个数为偶数，则至少为多少？nn（提示：利用 3 题的结果）6 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）201 141 183 （2）222111 abc abc32 行列式的性质行列式的性质1 利用行列式的性质计算系列行列式。(1) 2141 3121 1232 5062(2) 100 110 011 001a b c d (3) abacae bdcdde bfcfef 42 证明下列恒等式(1) 33axbyaybzazbxxyz Daybzazbxaxbyabyzx azbxaxbya
4、ybzzxy （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2) 22222222222222221231230 123123aaaabbbbccccdddd (3) 1 1112211000 01000001nn nnnnnx x xa xaxa x aaaaxa (提示：从最后一列起，后列的倍加到前一列)x53 已知四阶行列式 D 的第三行元素分别为：；第四行元素的对应的余1,0,2,4子式依次是 2，10，4，求的值。aa4 已知 1365，2743，4056，6695，5356 能被 13 整除，证明：能被 13 整除。11365 22743 34056 46695
5、55356（提示：注意观察行列式中第 2，3，4，5 列元素的特点）5 已知，512345 22211 273124511122 43150D 求：(1) ；1222324252322AAAAA(2) 和。414243AAA4445AA（提示：利用行列式按行（列）展开的性质计算）66 设，求的根。( )xabc axbcf xabxc abcx( )0f x 解 1：首先，行列式展开式中含项，所以有四个根。而通过观察，将4x( )0f x 代入行列式，行列式中均有两行元素相同，此时行列式值为,xa xb xc0，即为根。然后，把所有列加到第一列上，可发现第四个根，,xa xb xc计算如下：解
6、 2：（注意各行元素之和相等，可计算的值后，求根。 ）( )f x73 行列式的计算行列式的计算1 利用三角行列式的结果计算下列阶行列式n(1) 3111 1311 1131 1113D （提示：注意各行（列）元素之和相等）(2)000 000000 000xy xyxy yx （提示：可考虑按第一行（列）展开）8(3) 12111 111, (0,1,2, )111nina aDaina （提示：可考虑第一行的倍加到各行，再化为三角行列式）12 用迭代法计算下列行列式(1) 2100000 12100000000121 0000012nD 解：按第一行（列）展开，得递推公式：= + 。于是n
7、D1nD2nD= = 。nD 1nD1nD2nD2D1D由此得： + nD 1nD+ 2nD + 2D。 9(2) 。0000 1000 010000001 00001nabab abab abDabab ab 解：按第一行展开，有递推公式 + ，得递推公式：nD 1nD2nD1nnDaD12()nnDaD21()DaD同理可得： 1nnDbD联立与，解方程组得： nD 3 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式(1) ，1111(1)() (1)()1 111nnnnnnnaaan aaan Daaan (0,1,2, )an（提示：利用行列式的性质，先化行列式为标准形式的范德蒙行列式，再利用
8、范德蒙行列式的结果计算行列式）10(2) ，1221 111111 111221 2222222211221 11111111nnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnaabababbaababa bb Daabababb )0(ia解：在 行中提出因子，in ia4构造辅助行列式法计算下列行列式(1) (缺行的范德蒙行列式)222244441111 abcdDabcd abcd解：构造辅助范德蒙行列式，为中元素22222333334444411111 abcdx Dabcdxabcdx abcdxDD的余子式，而3x22222333334444411111abcdx Dabcdxab
9、cdxabcdx11(2) 12 12111222, 0nnnaaDa aannna解：构造辅助行列式，121111011102220naDannna 则，而nDDD 5 用数学归纳法证明：cos1000 12cos100 cos012cos0000012cosnDn 证明：（1）时，等式显然成立；1n （2）假定等式对于小于阶的行列式成立；n12（3） （下证阶行列式成立）n由于， + （注：按最后一行（列）展开）nD 1nD2nD= = 所以，6 ，求nxaaa axaa Daaxaaaax (1)0,nax12nnnnAAA(提示：将所有行加到最后一行)133 克来姆（克来姆（Crame
10、r）法则）法则1 用克来姆法则解下列方程组(1) 123123123243421132411xxxxxxxxx (2) 1231212302500xxxxxxx 2 当取何值时，方程组有非零解？k1231231230 0 20kxxx xkxx xxx 14第二章第二章矩矩 阵阵1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算1 判断正误（1）设为矩阵，为矩阵，若，则 与必为同阶方阵。Am nBspABBAABBA（ ）（2）与为阶方阵，为实数，有。 （ ）ABn()()A BBAAB（3）与为阶方阵， 。 （ ）ABn()kkkABA B)(Nk（4）与为阶方阵，。 （ ）ABn2222ABAABB（5
11、）为阶方阵，。 （ ）An222AEAAE（6）与为阶方阵，。 （ ）ABn22()()AB ABAB（7）为阶方阵，。 （ ）An2()()AEAEAE（8）与为阶方阵， 。 （ ）ABnTTABAB（9）与为阶方阵，。 （ ）ABnTTA BAB2 选择题(1) 设均为阶方阵，则（ ）, ,A B Cn, ABBAACCAABC (A) （B） (C) (D) ACBCBABCACAB(2) 若为实对称矩阵，则的值（ ）ATA A(A) （B） (C) (D) 不能确定000（3）设为方阵，则为（ ）A2( )2f xxx( )f A(A) （B） 22AA22AAE(C) (D) 不能确
12、定(2 )()AEAE153 设，计算：12 1023A 20 1111B (1)；(2) ；(3) 。132ABTABTA B4 计算。101nnA(提示：先计算出，以此归纳出，然后用数学归纳法证明结论)23,A AnA5 设为阶方阵，若对任意的维列向量，均有，证明：。Annz0Az 0A (提示：由于维列向量的任意性，考察维列向量，证中各元素nzn12,ne eeA为 0)166 设为实对称矩阵，若，证明。A20A 0A (提示：证中各元素为 0)A7 若为阶方阵，且满足。 若，求。AnTAAE0A EA(提示：先证明)EAEA 8 试证：若为奇数阶方阵，且满足，则。ATAAE1A 0EA(提示：先证明)EAEA 9 若为奇数阶反对称方阵，证明：。A0A (提示：由反对称阵的定义证明)1710 设都是对称矩阵，证明：为对称矩阵的充要条件是。,A BABABBA11 设 阶方阵，且与的各行元素之和为 1，是矩阵，n()ijAa()ijBbAB1n且每个元素都为 1，求证：(1) ；A(2) 的各行元素之和都等于 1；AB(3) 若各行元素之和分别为，则的各行元素之和都等于什么？,A B, k tAB182 逆矩阵逆矩阵1 判断正误(均为阶方阵), ,A B Cn(1) 。 ( )000ABAB或(2) 。
