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1、1第一章第一章行列式行列式1 行列式的概念行列式的概念1 填空(1) 排列 6427531 的逆序数为 ,该排列为 排列。(2) = , = 时, 排列 1274 569 为偶排列。ijij(3) 阶行列式由 项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列n的 个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么n列标构成一个元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为 号;若为n偶排列,该项的符号为 号。(4) 在 6 阶行列式中, 含的项的符号为 ,含152332445166a a a a a a的项的符号为 。324314516625a a a a a a2 用行列式的定义计算
2、下列行列式的值(1) 112223323300 0 0a aa aa解: 该行列式的项展开式中,有 项不为零,它们分别为 3!,所以行列式的值为 。(2) 12,121,21,11,12,1000 000nnnnnnnnnnn nnna aaaaa aaaa 解:该行列式展开式中唯一不可能为 0 的项是 ,而它的逆序数是 ,故行列式值为 。3 证明:在全部元排列中,奇排列数与偶排列数相等。n证明:元排列共有个,设其中奇排列数有个,偶排列数为个。对于任意奇排n! n1n2n列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有 ,同理得 ,所以 。1n2n2n1n1n2n
3、24 若一个阶行列式中等于 0 的元素个数比多,则此行列式为 0,为什么?nnn 25阶行列式中,若负项的个数为偶数,则至少为多少?nn(提示:利用 3 题的结果)6 利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)201 141 183 (2)222111 abc abc32 行列式的性质行列式的性质1 利用行列式的性质计算系列行列式。(1) 2141 3121 1232 5062(2) 100 110 011 001a b c d (3) abacae bdcdde bfcfef 42 证明下列恒等式(1) 33axbyaybzazbxxyz Daybzazbxaxbyabyzx azbxaxbya
4、ybzzxy (提示:将行列式按第一列分解为两个行列式之和,再利用性质证明)(2) 22222222222222221231230 123123aaaabbbbccccdddd (3) 1 1112211000 01000001nn nnnnnx x xa xaxa x aaaaxa (提示:从最后一列起,后列的倍加到前一列)x53 已知四阶行列式 D 的第三行元素分别为:;第四行元素的对应的余1,0,2,4子式依次是 2,10,4,求的值。aa4 已知 1365,2743,4056,6695,5356 能被 13 整除,证明:能被 13 整除。11365 22743 34056 46695
5、55356(提示:注意观察行列式中第 2,3,4,5 列元素的特点)5 已知,512345 22211 273124511122 43150D 求:(1) ;1222324252322AAAAA(2) 和。414243AAA4445AA(提示:利用行列式按行(列)展开的性质计算)66 设,求的根。( )xabc axbcf xabxc abcx( )0f x 解 1:首先,行列式展开式中含项,所以有四个根。而通过观察,将4x( )0f x 代入行列式,行列式中均有两行元素相同,此时行列式值为,xa xb xc0,即为根。然后,把所有列加到第一列上,可发现第四个根,,xa xb xc计算如下:解
6、 2:(注意各行元素之和相等,可计算的值后,求根。 )( )f x73 行列式的计算行列式的计算1 利用三角行列式的结果计算下列阶行列式n(1) 3111 1311 1131 1113D (提示:注意各行(列)元素之和相等)(2)000 000000 000xy xyxy yx (提示:可考虑按第一行(列)展开)8(3) 12111 111, (0,1,2, )111nina aDaina (提示:可考虑第一行的倍加到各行,再化为三角行列式)12 用迭代法计算下列行列式(1) 2100000 12100000000121 0000012nD 解:按第一行(列)展开,得递推公式:= + 。于是n
7、D1nD2nD= = 。nD 1nD1nD2nD2D1D由此得: + nD 1nD+ 2nD + 2D。 9(2) 。0000 1000 010000001 00001nabab abab abDabab ab 解:按第一行展开,有递推公式 + ,得递推公式:nD 1nD2nD1nnDaD12()nnDaD21()DaD同理可得: 1nnDbD联立与,解方程组得: nD 3 利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式(1) ,1111(1)() (1)()1 111nnnnnnnaaan aaan Daaan (0,1,2, )an(提示:利用行列式的性质,先化行列式为标准形式的范德蒙行列式,再利用
8、范德蒙行列式的结果计算行列式)10(2) ,1221 111111 111221 2222222211221 11111111nnnnnnnnnnnnnnnn nnnnnnnnaabababbaababa bb Daabababb )0(ia解:在 行中提出因子,in ia4构造辅助行列式法计算下列行列式(1) (缺行的范德蒙行列式)222244441111 abcdDabcd abcd解:构造辅助范德蒙行列式,为中元素22222333334444411111 abcdx Dabcdxabcdx abcdxDD的余子式,而3x22222333334444411111abcdx Dabcdxab
9、cdxabcdx11(2) 12 12111222, 0nnnaaDa aannna解:构造辅助行列式,121111011102220naDannna 则,而nDDD 5 用数学归纳法证明:cos1000 12cos100 cos012cos0000012cosnDn 证明:(1)时,等式显然成立;1n (2)假定等式对于小于阶的行列式成立;n12(3) (下证阶行列式成立)n由于, + (注:按最后一行(列)展开)nD 1nD2nD= = 所以,6 ,求nxaaa axaa Daaxaaaax (1)0,nax12nnnnAAA(提示:将所有行加到最后一行)133 克来姆(克来姆(Crame
10、r)法则)法则1 用克来姆法则解下列方程组(1) 123123123243421132411xxxxxxxxx (2) 1231212302500xxxxxxx 2 当取何值时,方程组有非零解?k1231231230 0 20kxxx xkxx xxx 14第二章第二章矩矩 阵阵1 矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算1 判断正误(1)设为矩阵,为矩阵,若,则 与必为同阶方阵。Am nBspABBAABBA( )(2)与为阶方阵,为实数,有。 ( )ABn()()A BBAAB(3)与为阶方阵, 。 ( )ABn()kkkABA B)(Nk(4)与为阶方阵,。 ( )ABn2222ABAABB(5
11、)为阶方阵,。 ( )An222AEAAE(6)与为阶方阵,。 ( )ABn22()()AB ABAB(7)为阶方阵,。 ( )An2()()AEAEAE(8)与为阶方阵, 。 ( )ABnTTABAB(9)与为阶方阵,。 ( )ABnTTA BAB2 选择题(1) 设均为阶方阵,则( ), ,A B Cn, ABBAACCAABC (A) (B) (C) (D) ACBCBABCACAB(2) 若为实对称矩阵,则的值( )ATA A(A) (B) (C) (D) 不能确定000(3)设为方阵,则为( )A2( )2f xxx( )f A(A) (B) 22AA22AAE(C) (D) 不能确
12、定(2 )()AEAE153 设,计算:12 1023A 20 1111B (1);(2) ;(3) 。132ABTABTA B4 计算。101nnA(提示:先计算出,以此归纳出,然后用数学归纳法证明结论)23,A AnA5 设为阶方阵,若对任意的维列向量,均有,证明:。Annz0Az 0A (提示:由于维列向量的任意性,考察维列向量,证中各元素nzn12,ne eeA为 0)166 设为实对称矩阵,若,证明。A20A 0A (提示:证中各元素为 0)A7 若为阶方阵,且满足。 若,求。AnTAAE0A EA(提示:先证明)EAEA 8 试证:若为奇数阶方阵,且满足,则。ATAAE1A 0EA(提示:先证明)EAEA 9 若为奇数阶反对称方阵,证明:。A0A (提示:由反对称阵的定义证明)1710 设都是对称矩阵,证明:为对称矩阵的充要条件是。,A BABABBA11 设 阶方阵,且与的各行元素之和为 1,是矩阵,n()ijAa()ijBbAB1n且每个元素都为 1,求证:(1) ;A(2) 的各行元素之和都等于 1;AB(3) 若各行元素之和分别为,则的各行元素之和都等于什么?,A B, k tAB182 逆矩阵逆矩阵1 判断正误(均为阶方阵), ,A B Cn(1) 。 ( )000ABAB或(2) 。