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1、1习题精解习题精解9-1.在气垫导轨上质量为 m 的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图 9-1 所 示，试证明物体 m 的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为 k1和 k2.解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为12()Fkkx 根据牛顿第二定律有2122()d xFkkxmamdt 化简得2 12 20kkd xxdtm令则所以物体做简谐振动，其周期212kk m2 2 20d xxdt1222mTkk9-2 如图 9.2 所示在电场强度为 E 的匀强电场中，放置一电偶极矩 P=ql 的电偶极子，+q 和-q 相距 l，且 l 不变。若有一外
2、界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对 电荷会以垂直与电场并通过 l 的中心点 o 的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的 简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为 m，重力忽略不计。解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图 9.2 所示位置时，电偶极子所受力 矩为sinsinsin22llMqEqEqEl 电偶极子对中心 O 点的转动惯量为22 21 222llJmmml由转动定律知2 2 21sin2dMqElJmldt 化简得222sin0dqE dtml当角度很小时有，若令，则上式变为sin022qE ml22 2 2sin0d dt所以电偶极子的微小摆动是简谐
3、振动。而且其周期为222mlTqE9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在 附近，与人的步行频率接近，才能使1.3vHz 乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？解 汽车正常载重时的质量为 m，振子总劲度系数为 k，则振动的周期为，频2mTk率为 11 2kvTm正常载重时弹簧的压缩量为22220.15( )44mgTgxgmkv9-4 一根质量为 m，长为 l 的均匀细棒，一端悬挂在水平轴 O 点，如图 9.3 所示。开始棒 在平衡位置 OO，处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将
4、在重力矩作用下，绕 O 点 在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。 若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的 摆动为简谐振动，并求其振动周期。解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为，并规定细棒在平衡位置向右时为正， 在向左时为负，则力矩为 1sin2Mmgl 负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对 O 点转动惯量为,根据转动定律有21 3Jml2 2 211sin23dMmglJmldt 化简得223sin02dg dtl当很小时有，若令则上式变为sin23 2g l2 2 2sin0d dt3所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为2223lTg
5、9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅，周期，当 t=022 10Am0.50Ts时， （1）物体在正方向的端点； （2）物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动; (4）物体在平衡位置，向负方向运动;(5)物体在处向负方向运动21.0 10xm(6)物体在处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。21.0 10xm 解 由题意知2122.0 10,0.5 ,4Am TssT（1）由初始条件得初想为是,所以振动方程为1022 10cos4 ( )xm（2）由初始条件得初想为是，所以振动方程为222 10cos(4)( )xtm（3）由初始条件得初想为是，所以振动方程为
6、3222 10cos(4)( )2xtm（4）由初始条件得初想为是，所以振动方程为43 2232 10cos(4)( )2xtm（5）因为，所以，取（因为速度小于零） ，2 0 521 10cos0.52 10x A55,3353所以振动方程为22 10cos(4)( )3xtm（6），所以，取（因为速度大于零）2 0 621 10cos0.52 10x A 624,3364 3，所以振动方程为4242 10cos(4)( )3xtm9-6 一质点沿 x 轴做简谐振动，振幅为 0.12m，周期为 2s，当 t=0 时，质点的位置在 0.06m 处，且向 x 轴正方向运动，求； （1）质点振动的
7、运动方程； （2）t=0.5s 时，质点的位置、速度、加速度； （3）质点 x=-0.06m 处，且向 x 轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。解 （1）由题意可知：可求得（初速度为0020.12 ,cosAmxAT03 零） ，所以质点的运动方程为0.12cos3xt（2）0.50.12cos 0.50.1( )3txm任意时刻的速度为0.12cos3vt 所以1 0.50.12cos 0.50.19()3tvm s 任意时刻的加速度为20.12cos3at 所以22 0.50.12cos 0.51.03tam s （3）根据题意画旋转矢量图如图 9.4 所示。 由图可知，质点在 x
8、=-0.06m 处，且向 x 轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为 325 236所以 50.8336ts 9-7 一弹簧悬挂 0.01kg 砝码时伸长 8cm，现在这根弹簧下悬挂 0.025kg 的物体，使它作自 由振动。请建立坐标系，分析对下述 3 种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建 立振动方程。 （1）开始时，使物体从平衡位置向下移动 4cm 后松手； （2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；5（3）把物体从平衡位置向下拉动 4cm 后，又给以向上的初速度，同时开始计时。121cm s解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正方向，建立如图
9、9.5 所示坐标系。系统振动的圆频率为 1110.010.0870.025m g xkgsmm根据题意，初始条件为0 1 04 0xcm vcm s 振幅，初相位2 20 024vAxcm10振动方程为4cos7 ( )xt m（2）根据题意，初始条件为0 1 0021xcmvcm s 振幅，初相位2 20 023vAxcm22振动方程为3cos(7)( )2xtm（3）根据题意，初始条件为0 1 0421xcmvcm s 振幅，得2 20 025vAxcm0 3 0tan0.75v x 30.64振动方程为5cos(70.64)( )xtm9-8 质量为 0.1kg 的物体，以振幅做简谐振动
10、，其最大加速度为21.0 10Am，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。24.0m s解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为62 maxaA，所以周期为。 1max 24.0201.0 10asA 220.31420Ts （2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度maxvA所以动能为 222223 max1110.11.0 10202 10222kEmvmAJ（3）总能量为 32 10kEEJ总9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为的简谐振动，如图 9.6 所示，物体的质量为0AM，弹簧的劲度系数为 k，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为 m 的小
11、泥团以速度从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求：v（1）系统振动的圆频率； （2）按图示坐标列出初始条件； （3）写出振动方程； 解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为 M+m，弹簧的劲度系数 为 k，所以系统振动的圆频率为k Mm（2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有 0MvmvMm v0MvmvvMm 按图 9.6 所示坐标初始条件为000x MvmvvMm （3）根据初始条件，系统振动的初相位为；假设，系统的振动振幅为 A，根据能量2守恒，有2 22 0111 () 222MvmvkAMm vMm其中22 011 22MvkA故得70()km
12、vMAMAMm k振动方程为 0 cos2()kmvMAkMxtmMmMm k 9-10 有一个弹簧振子，振幅，周期 T=1s，初相位， （1）写出它的22 10Am3 4振动方程；（2）利用旋转矢量图，作 x-t 图。解 （1）由题意可知，所以弹簧振子的振动方程为22T 232 10cos 24xtm（2）利用旋转矢量图做 x-t 图如图 9.7 所示 9-11 一物体做简谐振动， （1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位 可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能 量的百分比是多少？ 解 （1）根据题意做旋转矢量如图 9.8 所示。
13、由图 9.8 可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是 2,33（2）物体做简谐振动时的总能量为，在任意位置时的时能为，所21 2WkA21 2pWkx以当它的位置在振幅的一半时的势能为，势能占总能量的百分比2 2111 228pWkAkA为 25%，动能占总能量的百分比为 75%。 9-12 手持一块平板，平板上放以质量为 0.5kg 的砝码，现使平板在竖直方向上下振动， 设该振动是简谐振动，频率为 2Hz，振幅是 0.04m,问： （1） 位移最大时，砝码对平板的正压力多大？ （2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？ (3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是
14、多大？解 （1）由题意可知，。因为物体在作简谐振动，物体在最124,0.04vsAm大位移时加速度大小222 max0.04 160.64aA根据牛顿第二定律有1max2maxNmgmamgNma8解得（最低位置） ， (最高位置)18.06NN21.74NN（2）当，即时 会使砝码脱离平板。2 maxmgmamA0.062Am（3）频率增大一倍，把代入得122 max11mgmamA 2 111.55 104AAm9-13 有两个完全相同的弹簧振子 A 和 B，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都 是 2s。现将两个物体从平衡位置向右拉开 5cm，然后先释放 A 振子，经过 0.5s 后，再释放 B 振子，如图 9.9 所示，若以 B 振子释放的瞬间作为时间的起点， （1）分别写出两个物体的振动方程； （2）它们的相位差为多少？分别画出它们的 x-t 图。解 （1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为，若以 B 振子释放的瞬时2 T作为时间的起点，则 B 物体振动的初相位是，振动方程应为0B5cos()Bxt cm由于 A 物体先释放 0.5s 时的时间，所以相位超前 B 物体
