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1、24.1.2 垂直于弦的直径,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径所在的直线对折, 重复做几次, 你发现了什么? 由此你能得到什么结论?,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,活动一,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能
2、发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,思考,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,活 动 二,想一想：,垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,O,A,B,C,D,E,推论：,E,O,A,B,D,C,E,A,B,C,D,E,O,A,B,D,C,E,O,A,B,C,E,O,C,D,A,B,O,B,A,E,D,在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等 的线段或相等的圆弧.,O,课堂讨论,根据已知条件进行推导： 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对优弧
3、 平分弦所对劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。,（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。,根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：,那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。,注意要点, 经过圆心, 垂直于弦, 平分弦, 平分弦所对的优弧, 平分弦所对的劣弧,1.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( ) A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个,C,2.下列说法中正确的个数是（ ） .直径是弦
4、 .半圆是弧 .平分弦的直径垂直于弦 .圆是轴对称图形，对称轴是直径 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,B,练习 1,D,3.下列命题中正确的是( ) A.弦的垂线平分弦所对的弧; B.平分弦的直径垂直于这条弦; C.过弦的中点的直线必过圆心; D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心;,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，
5、根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高,8cm,1半径为4cm的O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。 2O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 。 3半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。 4.在直径为20cm的O中，AOB是60那么AB的弦心距是（ ）,练习 2,6如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E， 求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又 AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,5。弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm
6、，则这弓形所在的圆的半径为 .,例.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截面上有油部分油面高CD= ,半径、弦长、弓形的高、 圆心到弦的距离,8cm,例：为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm 。 若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为_ dm。 若水深1dm，则水管截面半径为_dm.,2,8.5,弓形问题中：,半径、弦长、弦心距、弓形高 “知二求二”,7。某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为.2m ， 过O作OCAB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出
7、水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,.,E,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,推论2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等。,M,O,A,B,N,C,D,练习一,1。如图，O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为_.最大值为_.,3,5,2。已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 试说明：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则 AEBE，
8、CEDE。 AECEBEDE。 所以，ACBD,E,3。已知O的直径是50 cm，O的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。,C,D,20,15,25,25,24,7,C,D,F,EF有两解：15+7=22cm 15-7=8cm,练习二,4。在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,D,C,练习三,5。如图，在圆O中，已知AC=BD， 试说明：（1）OC=OD （2）AE= BF,练习四,如图，BC为O直径，ADBC于D，点A为弧BF的中点，BF交AD于E，求证：AE=BE,例8.已知ABC内接于O，ADBC于D，点E为弧BC的中点， 求证：EAD=EAO,练习五,例6.如图，D、E分别为弧AB、弧AC的中点，DE分别交AB、AC于点M、N， 求证(1)AM=AN (2)若DM=NE，求证：OADE,练习五,
