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1、- 1 -20152015 年初三数学年初三数学二次函数综合题二次函数综合题归类复习归类复习1图像与性质：例 1(2014 年四川资阳，第 24 题 12 分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0） ，与y轴的交点为B（0，3） ，其顶点为C，对称轴为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0m3）得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S2旋转问题：例 2. （2014福建泉州，第 22 题 9 分）如图，已知二次函数y=a
2、（xh）2+的图象经过原点O（0，0） ，A（2，0） （1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转 60到OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？- 2 -3与三角形结合：例 3 （2014广西贺州，第 26 题 12 分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，） ；点F（0，1）在y1 4轴上直线y=1 与y轴交于点H（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=1 交于点M，求证：FM平分OFP；（3）当FPM是等边三角形时，求P点的坐标- 3 -4与四边形结合：例 4 （2014福建泉州，第 25 题 12 分）如图，在锐
3、角三角形纸片ABC中，ACBC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上（1）已知：DEAC，DFBC判断：四边形DECF一定是什么形状？裁剪：当AC=24cm，BC=20cm，ACB=45时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠：请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由5新定义题：- 4 -例 5 （ 2014安徽省,第 22 题 12 分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数” （1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x24mx+2
4、m2+1 和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1） ，若y1+y2与y1为“同簇二次函数” ，求函数y2的表达式，并求出当 0x3 时，y2的最大值6运动型问题：例 6 （ 2014广东，第 25 题 9 分）如图，在ABC中，AB=AC，ADAB于点D，BC=10cm，AD=8cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒 3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒 2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t0） （1）当t=2 时，连接DE、DF，求证：四
5、边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由- 5 -7代数与几何综合：例 7. （2014广西玉林市、防城港市，第 26 题 12 分）给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1（1）当b=1 时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；（2）若把直线l向上平移k2+1 个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点求此抛物线的解析式；若P是此抛物线上任一点
6、，过P作PQy轴且与直线y=2 交于Q点，O为原点求证：OP=PQ- 6 -8面积问题：例 8 （2014温州，第 21 题 10 分）如图，抛物线y=x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作MEy轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（1，0） （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标（2）求EMF与BNE的面积之比9探究型问题：- 7 -例 9 （2014舟山，第 24 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内AEy轴于点E，点B坐标为（0，2） ，直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线D
7、E与AB相交于点F，连结BD设线段AE的长为m，BED的面积为S（1）当m=时，求S的值（2）求S关于m（m2）的函数解析式（3）若S=时，求的值；当m2 时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明- 8 -10存在性问题：例 10 （2014 年广东汕尾，第 25 题 10 分）如图，已知抛物线y=x2x3 与x轴的交点为A、D（A在D的右侧） ，与y轴的交点为C（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得MAD的面积与CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出
8、点P的坐标；若不存在，请说明理由- 9 - 10 -11应用题型：利润问题。例 11 （2014武汉 2014武汉，第 29 题 10 分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1x90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1x5050x90售价（元/件）x+4090每天销量（件）2002x已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果12求点的坐标问题：- 11 -例 12
9、（2014武汉，第 25 题 12 分）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4 与抛物线y=x2交于A，B两点1 2（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k=时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使ABP的面积等于 5；1 2（3）若在抛物线上存在定点D使ADB=90，求点D到直线AB的最大距离13与一元二次方程结合：例 13 （10 分） （2014孝感，第 22 题 10 分）已知关于x的方程x2（2k3）x+k2+1=0 有两个不相等的实数根x1、x2（1）求k的取值范围；（2）试说明x10，x20；（3）若抛物线y=x2（2k3）x+k2+1 与x轴交于A、B两点，点
10、A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OAOB3，求k的值- 12 - 13 -14双动点问题：例 14(2014襄阳，第 26 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0） ，D（3，4） ，E（0，4） 点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1 交x轴于点B连接EC，AC点P，Q为动点，设运动时间为t秒（1）填空：点A坐标为 ；抛物线的解析式为 （2）在图 1 中，若点P在线段OC上从点O向点C以 1 个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以 2 个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运
11、动当t为何值时，PCQ为直角三角形？（3）在图 2 中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以 1 个单位/秒的速度运动，过点P做PFAB，交AC于点F，过点F作FGAD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ当t为何值时，ACQ的面积最大？最大值是多少？- 14 - 15 -15与圆结合：例 15 （2014益阳，第 21 题，12 分）如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B=60，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设ADP与PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值- 16 -
