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1、煤 炭 版 测 量 平 差,太原理工大学测绘科学与技术系,2014.2,第一章 观测误差及其传播律,学 习 内 容,协方差传播律、权以及协因数传播律,广义传播律在测量中的应用与系统误差的传播,观 测 误 差、偶 然 误 差 特 性 以 及 精 度,一、误差来源,1-1 观测误差与测量平差的任务,如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。不管观测条件如何，测量中产生误差是不可避免的。,1-1 观测误差与测量平差的任务,系统误差,偶然误差,粗差,二、观测误差的分类,在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么
2、，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。,在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差。,由于观测者工作态度和技术水平造成的错误。,1-1 观测误差与测量平差的任务,三、测量平差的任务,测 量 平 差 任 务,通过数据处理求待定量的最有估值,评定观测成果的质量,1-2 偶然误差的统计性质,一、真值与真误差,真值,真误差,任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。 这一数值就
3、称为该观测量的真值。通常用 表示真值。设进行了n次观测，各观测值为 ，真值为 ，每一 个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，称为真误差，即：,用向量表示：,1-2 偶然误差的统计性质,二、偶然误差的规律性,1、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；2、绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、偶然误差的数学期望为零，即：,1-2 偶然误差的统计性质,三、偶然误差的概率分布密度函数,式中 为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。由于 ，所以该曲线是以横坐
4、标为0处的纵轴为对称轴。当 不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差是服从 分布的随机变量。,1-3 衡量精度的指标,误差分布相同，观测成果的精度相同； 反之，若误差分布不同，则精度也就不同。,用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。,一、方差和中误差,误差的概率密度函数为：,1-3 衡量精度的指标,方差和中误差的估值：,就是中误差：正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为，对于偶然误差，拐点在横轴上 ，其大小可以反映精度的高低，所以常用中误差作为衡量精度的指标。,对于离散型：,方差定
5、义：,1-3 衡量精度的指标,三、相对误差,相对中误差是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为1，用 表示。,二、极限误差,误差落在 、 和 的概率分别为：,一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值 ，并称为极限误差。,1-4 协方差传播律,一、协方差阵,设n维观测向量为：,向量X的方差-协方差阵为：,1. 是观测向量的期望；,2.主对角元素 是第i 组观测值的方差；,几点说明：,1-4 协方差传播律,6.观测值为独立观测值时，协方差阵为对角阵；,7.观测值为等精度独立观测值时，即 ，协方差阵为数量矩阵。,5.由于 故为对称阵；,4.当 表示这两个观测值独立，不相关；,3.非主对角元素 是第i
6、 组观测值关于第j组 观测值的协方差，协方差用来描述观测值i 和观测值j 之间的相关程度；,1-4 协方差传播律,二、观测值线性函数的方差,设有观测值向量 ，其数学期望为 ，协方差阵为 ,即,观测向量的线性函数为：,Z的期望为：,1-4 协方差传播律,Z的方差为：,协方差传播律,1-4 协方差传播律,三、多个观测值线性函数的协方差阵,若观测向量的多个线性函数为：,则令：,于是，观测向量的多个线性函数可写为,则：,1-4 协方差传播律,若还有观测向量的另外r个线性函数,则有：,而,同理：,1-4 协方差传播律,四、非线性函数的协方差传播,设有观测值 的非线性函数：,泰勒级数展开：,得：,最后得：
7、,如果令：,最后得：,1-4 协方差传播律,若记,设观测向量的t个非线性函数为：,对上式求全微分，得：,1-4 协方差传播律,五、应用协方差传播律的具体步骤：（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统一；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差协方差矩阵。,求非线性函数的方差协方差矩阵比求线性函数的方差协方差矩阵只多一个求全微分的步骤。,根据协方差传播律得：,则有：,1-5 权与常用的定权方法,一、权的定义,设有观测值 ，方差为 ,选定任一常数,则定义观测值 的值为：,1选定了一个 值
8、，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的 值。 2一组观测值的权，其大小是随 的不同而异，但不论 选用何值，权之间的比例关系始终不变。 3为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个 值，否则就破坏了权之间的比例关系。 4事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。 5权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。,二、单位权中误差 权等于1的观测值称为单位权观测值。权等于1的观测值的方差称为单位权方差。即： 是单位权方差，也称为方差因子。权等于1的观测值的中误差称为单位权中误差。即： 是单位权中误差
9、。 同类观测值： 权是无量纲，无单位；不同类观测值：权是有单位的。例如：边角网中：设测角中误差单位为“秒”；测边中误差单位为“mm”若 单位取秒，则角度的权无单位，边长的权的单位为：若 单位取mm，则边长的权无单位，角度的权的单位：,定义,权的单位,1-5 权与常用的定权方法,1-5 权与常用的定权方法,三、测量上常用的定权方法,水准测量的权,设单位权中误差为：,因此有：,即当各测站的观测高差为同精度时，各路线的权与测站数成反比。,设每一测站观测高差的精度相同，其中误差均为：,则各路线观测高差的中误差为：,1-5 权与常用的定权方法,设每公里观测高差的精度相同,其中误差为：,则各路线观测高差的
10、中误差为：,设单位权中误差为：,因此有：,即当每公里观测高差为同精度时，各路线的权与距离的公里数成反比。,1-5 权与常用的定权方法,同精度观测值的算术平均值的权,设有 它们分别是 次同精度观测值的平均值，,若每次观测的中误差均为,则 的中误差为：,取：,则观测值 的权为：,1-5 权与常用的定权方法,丈量距离的权,设用长度为l的钢尺丈量了n尺段，则有：,因每尺段都是独立等精度观测值，其中误差均为：,则 的中误差为：,则：,任一导线边观测值的权为：,常用的定权方法的共同特点是：虽然它们都是以权的定义式为依据的，但 是在实际定权时，并不需要知道各观测值方差的具体数字，而只要应用测站数、公里数、等
11、等就可以定权了。,1-6 协因数和协因数传播律,一、协因数与协因数阵,设有观测值 ，它们的权分别为 ，它们的方差分别为,的协因数或权倒数,的协因数或权倒数,关于 协因数或相关权倒数,或写为：,1-6 协因数和协因数传播律,将n维随机变量 的方差阵 同乘以一个纯量因子,协因数阵,注意两点： （1）主对角线元 为随机变量 的协因数，即权倒数； （2）非主对角线元素 为随机变量 关于随机变量 的互协因数，且有 。,1-6 协因数和协因数传播律,二、权阵,为权阵，记为：,（1）独立观测值的权阵为对角阵，且其主对角线元素即为相应观测值的权，有,（2）当观测值向量中的观测值相关时，其权阵中的主对角线元素
12、不是观测值 的权 。,1-6 协因数和协因数传播律,三、协因数传播律,设有X的函数值Y和Z：,协因数传播律,如果Z和W的各个分量是X和Y的非线性函数：,对于独立观测值 ，假定各 的权为 ，则 的权阵、协因数阵均为对角阵,有函数： 线性化：,权倒数传播律,1-6 协因数和协因数传播律,1-7 广义传播律在测量中的应用,一、由三角形闭合差求测角中误差的公式,设在一个三角网中，以同精度独立观测了各三角形之内角，由各观测角值 计算而得的三角形闭合差分别为,它们是一组真误差，则三角形闭合差的方差为：,设测角方差均为 ，根据协方差传播律得：,菲列罗公式,1-7 广义传播律在测量中的应用,二、用不同精度的真
13、误差计算单位权中误差的公式,设是一组不同精度的独立观测值 中误差、权和真误差分别为：,设法得到一组精度相同且其权均为1的独立的真误差 ，则有,根据权倒数传播律得：,得：,最后得：,1-7 广义传播律在测量中的应用,三、由双观测值之差求中误差的公式,设对量 ，分别观测两次，得独立观测值和权 ：,两次观测值的差数：,的权：,双观测值之差求单位权方差的公式 ：,观测值 和 的方差： 第i对平均值的方差：,1-8 系统误差的传播,一、观测值的系统误差与综合误差的方差,设有观测值 观测量的真值为 ，则综合误差为：,观测值的综合误差方差：,当系统误差小于等于中误差的三分之一时，即当 时,实用上，如果系统误差部分不大于偶然误差部分的三分之一时， 则可将系统误差的影响忽略不计。,1-8 系统误差的传播,二、系统误差的传播,设有观测值 的真值为 ，综合误差 和系统误差 ：,线性函数：,线性函数的综合误差：,线形函数的系统误差的传播公式,对于非线性函数可以用它们的微分关系代替它们的误差之间的关系，然后按 线性函数的系统误差的传播公式计算。,1-8 系统误差的传播,三、系统误差与偶然误差的联合传播,设有函数：,观测值 的综合误差为：,函数Z的综合误差为：,函数Z的综合误差方差为：,当Z为非线性函数时，亦可用它们的微分关系代替误差关系。,
