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1、勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直 角边分别为、，斜边为 的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长 为 的正方形和4个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形拼成的。因为 这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。二、美国第二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图任总统茄菲尔德的证法（图3 3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直 角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式
2、，化简得。三、相似三角形的证法：三、相似三角形的证法： 4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三 角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原 三角形相似。 如图，RtABC 中，ACB=90。作 CDAB，垂足为 D。则 BCDBAC，CADBAC。 由BCDBAC 可得 BC2=BD BA， 由CADBAC 可得 AC2=AD AB。 我们发现，把、两式相加可得 CABDBC2+AC2=AB（AD+BD）， 而 AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形
3、的知识。四、古人的证法：四、古人的证法： 如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，以 弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他 肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开 方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思 想，较为简明、直观。 五、项明达证法：五、项明达证法：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ， 斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点
4、 P.过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点F 作 FNPQ，垂足为 N. BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA =90 ，ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC，又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF.即 a2+b2=c2六、欧几里德射影定理证法六、欧几里德射影定理证法 ：如图，RtABC 中，ABC=90，AD 是斜边 BC 上的高，通过证明三角 形相似则有射
5、影定理如下：1） （BD）2;=ADDC， （2） （AB）2;=ADAC ， （3） （BC） 2;=CDAC 。由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=ADAC+CDAC =（AD+CD)AC=（AC）2;， 即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2七、杨作玫证法：七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜 边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. 过 B 作 BPAF，垂足为 P. 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，
6、垂足为 E，DE 交 AF 于 H. BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. 又 DHA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. DH = BC = a，AH = AC = b. 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA.987654321PQRTHGFEDCBAabcabccc RtDGT RtDHA . DH = DG = a，GDT = HDA . 又 DGT = 90，DHF = 9
7、0， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba）. 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSSSSc abaabbSSS21438= abb212，985SSS， 82 4321SabbSS= 812SSb. 把代入，得98812 212SSSSbSSc= 922SSb= 22ab . 222cba. 8、陈杰证法：陈杰证法：设直角三角
8、形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为 c. 做两个边 长分别为 a、b 的正方形（ba） ，把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M 三点 在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在 EH = b 上截取 ED = a，连结 DA、DC， 则 AD = c. EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = ab a = b. 又 CMD = 90，CM = a， AED = 90， AE = b， RtAED RtDMC. EAD = MDC，DC = AD = c. ADE + ADC+ MDC =180， ADE + MDC = A
9、DE + EAD = 90， ADC = 90. 作 ABDC，CBDA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形. BAF + FAD = DAE + FAD = 90， BAF=DAE. 连结 FB，在 ABF 和 ADE 中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. AFB = AED = 90，BF = DE = a.ABCDEFGHMabcabcacabc1234567 点 B、F、G、H 在一条直线上. 在 RtABF 和 RtBCG 中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF RtBCG. 54322SSSSc，
10、6212SSSb， 732SSa， 76451SSSSS， 6217322SSSSSba=76132SSSSS=5432SSSS=2c 222cba.9、辛卜松证法：辛卜松证法：设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的 正方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 abbaba2222；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 22 214cabba=22cab . 22222cababba, 222cba.ab21ab21ab21ab212c2b2aAADDBBCCbababababaccc cbaababbaba
