流体力学 第04章 流体动力学基础

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1、1,第四章 流体动力学基础,2,第一节 流体运动微分方程 一、粘性流体运动微分方程 根据牛顿第二定律： (质量力表面力)ma 写出 x 方向动力平衡方程式 同理可得其它方向动力平衡方程式,3,在简单剪切流动中应用牛顿内摩擦定律：,三个方向的运动方程,化简可得纳维斯托克斯方程,4,纳维斯托克斯（Navier-Stokes）方程（NS方程）,5,上式可以写成拉普拉斯算式,6,上两式就是适用于不可压缩粘滞性液体的运动微分方程式，一般通称之为纳维斯托克斯方程式。如果液体没有粘滞性（即理想液体）则 ，于是纳维斯托克斯方程式就变成理想液体的欧拉运动方程式。如果没有运动，则 均等于零，于是纳维斯托克斯方程式

2、就变成静水力学欧拉平衡方程式。所以纳维斯托克斯方程式是不可压缩液体的普遍方程式。,7,理想流体， 得：欧拉方程,二、无粘性流体运动微分方程,8,例 试用纳维斯托克斯方程式求直圆管层流运动的流速及流量表达式（见图）,9,解：层流运动时，液体质点只有沿轴向的流动而无横向运动，若取圆管中心轴为 x 轴，则 。现取纳维斯托克斯方程组中第一式来看 恒定流时， 。质量力只有重力时， 因 ，所以 。由连续方程式 ，可知 。,10,由此可得， 。 将以上各值代入纳维斯托克斯方程组第一式，可简化为 因 ，所以 并不沿 x 方向而变化，由上式可知 与 x 无关，即动水压强沿 x 轴方向的变化率 是一个常数，可写成

3、,11,式中 为沿 x 方向长度为 L 的管段上的压强降落。由于压强是沿水流方向下降的，所以应在 前加一负号。 因为圆管中的液流是轴对称的， 相同，而且 y 与 z 都是沿半径方向的，故变数y，z可换成变数 r。而 与 x 无关，仅为 r 的函数，所以 对 r 的偏导数可以直接写成全导数。,12,或 将上式积分 利用轴心处的条件 ，得 。故,13,再积分，得 利用管壁处的条件 故 上式表明：圆管中层流过水断面上的流速是按抛物面的规律分布的。,14,第二节 元流的伯怒利方程 一、无粘性流体运动微分方程的伯怒利积分,沿流线积分得 以U（x，y，z）表示质量力的势函数 上式变为 在重力场中，作用在流

4、体上的质量力只有重力， 即U=-gz，带入得,15,对微小流束上任意两个过水断面有：,16,：液体某一点处的几何高度、单位重量液体的位能； ： 单位重量液体的压能、压强水头； ： 单位重量液体的动能、流速水头。 该式表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同的过水断面上，单位重量液体所具有机械能保持相等（守恒）。该式是由瑞士科学家伯诺里（Bernoulli）于1738年首先推导出来的。,17,三、粘性流体元流的伯怒利方程 无粘性流体没有粘滞性无须克服内摩擦力而消耗能量，其总机械能保持不变。 对粘性流体，令单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失的能量为 。则1-1断面和2-2断面

5、能量方程为： 上式为不可压缩粘性流体恒定元流的能量方程式。应用中需将其对就总流过水断面积分推广为总流的能量方程。,18,第三节 恒定总流的伯怒利方程 一、渐变流及其性质 1 渐变流的过流断面近于平面，面上各点速度方向近于平行。 2 渐变流的过流断面上的动水压强与静水压强分布规律相同。,19,二、恒定总流能量方程的推导 不可压缩粘性流体恒定流微小流束的能量方程为 各项乘以 ，并分别在总流的两个过水断面A1及A2上积分得：,20,共含有三种类型积分： 1第一类积分 若过水断面为渐变流，则在断面上 积分可得,21,2第二类积分 因 所以 式中 为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近于1；不均匀分布时

6、， 1； 在渐变流时，一般 =1.051.1。为计算简便起见，通常取 1。,22,3第三类积分 假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量 都用一个平均值 来代替则第三类积分变为： 得不可压缩实际液体恒定总流的能量方程。 上式反映了总流中不同过水断面上( )值和断面平均流速v的变化规律。,23,三、恒定总流能量方程的几何意义 实际液体恒定总流能量方程中共包含了四个物理量。其中Z代表总流过水断面上单位重量液体所具有的平均位能，一般称为位置水头。 代表过水断面上单位重量液体所具有的平均压能，反映了过水断面上各点平均动水压强所对应的压强高度。 称为测压管水头。 代表过水断面上单位重量液体所具有的平均动

7、能，一般称为流速水头。 为单位重量液体从一个过水断面流至另一个过水断面克服水流阻力作功所损失的平均能量，一般称为水头损失。单位重量液体所具有总机械能称为总水头，用 表示。,24,四、水头线和测压管水头线,粘性流体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线（直线或曲线）：而测压管水头线则可能是下降的线（直线或曲线）也可能是上升的线甚至可能是一条水平线。,25,总水头线坡度：总水头线沿流程的降低值与流程长度之比。也称水力坡度，常用 J 来表示。,26,应用恒定总流能量方程的条件及注意之点 应用条件： 1水流必须是恒定流。 2作用于液体上的质量力只有重力。 3在所选的两个过水断面上，水流应符合渐变流条 件

8、，但在所取的两个断面之间，水流可以不是 渐变流。 4. 在所取的两过水断面之间，流量保持不变，其 间没有流量加入或分出。,27,五、补充论述 1 气流的伯怒利方程（不讲） 2 流程中途有能量输入或输出时的能量方程,28,上式中 为1-1至2-2断面间，通过外加设备使单位重量液体所获得或减少的机械能。当为输入能量时，式中 前符号取“+”号，输出能量时取“”号。 对马达和抽水机 对水轮机与发电机,29,3 针对水流分支和汇合能量方程应用： 因总流能量方程中的各项都是指单位重量液体的能量，所以在水流有分支或汇合的情况下，仍可分别对每一支水流建立能量方程式。 如图所示两支会合的水流，从1-1断面及2-

9、2断面在单位时间内输入的液体总能量，应当等于3-3断面输出的总能量加上两支水流能量损失。,1,2,3,30,因 Q3=Q1+Q2 有 上式若要左端两项之和等于零，必须是要求各自分别为零，因为根据其物理意义，它每一项是表示其一支水流的输入总能量与输出总能量之差，因此它不可能是一项为正，另一项为负。即 对每一支有,31,注意点： 1基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基准面。 2能量方程中 项，可以用相对压强，也可以有绝对压强，但对同 一问题必须采用相同的标准。,32,3在计算过水断面的测压管水头值 时，可以选取过水断面上任意点来计算，以计算方便为宜。对于管道一

10、般可选管轴中心点来计算较为方便，对于明渠一般在自由表面上选一点来计算比较方便。 4不同过水断面上的动能修正系数 与 严格讲来是不相等的，且不等于1，实用上对渐变流多数情况可令 = =1，但在某些特殊情况下，其值需根据具体情况酌定。,33,能量方程应用举例 1、毕托管测流速 弯管前端封闭，侧面 孔置于测点A，水面 上升高度h1，则A点 处水流总能量 ；同一弯 管侧面不开孔，前端开孔，置于A点，受弯管水流阻挡，流速变零，动能全部转化为压能，故H=h2，则可得,34,修正原因： （1）两个小孔的位置不同。 （2）毕托管放入水流中所产生的扰动影响。 称为毕托管的校正系数，一般 约为0.98- 1.0。

11、,35,36,2、文丘里流量计 文丘里是测量管道中流量大小的一种装置，由两段锥形管和一段较细的管子相联结而成。前面部分为收缩段，中间叫喉管，后面部分叫扩散段。 对1-1和2-2断面写 总流的能量方程。 不计水头损失有 而,37,由于12断面之间有能量损失，实际流量要比上述值偏小，这个误差一般用文丘里管流量系数来改正，即 流量系数 约为0.950.98，一般通过试验率定获得。,所以有 因此通过文丘里流量计的流量为 式中,38,例 有一直径缓慢变化的锥形水管（如图），1-1断面处直径d1为0.15m，中心点A的相对压强为7.2kpa，2-2断面处直径d2为0.3m，中心点B的相对压强为6.1kpa

12、,断面平均流速 为1.5m/s，A、B两点高差为1米，试判别管中水流方向，并求1、2两断面的水头损失。,39,因 ， 管中水流应从A流向B。 水头损失,40,第五节 恒定总流的动量方程 质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变化，等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向上投影的代数和。 今在恒定总流中，取出某一 流段来研究。该流段两端过 水断面为1-1及2-2。经微小 时 段dt后，设原流段1-2移 至新 的位置1-2。流段内 动量的变化 应等于1-2与1-2流段内液体的 动量P1-2和P1-2之差。,41,有 而 故有 任取一微小流束MN，微小流束1-1流段内液体的动量 。对断面

13、A1积分有 同理 采用断面平均流速v代替u，有,42,其中 动量修正系数是表示单位时间内通过断面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。常采用 ，因为 故有： 于是得恒定总流的动量方程为： 在直角坐标系中 的投影为：,43,上述动量方程可推广应用于流场中任意选取的封闭体。,如图所示分叉管路，当对分叉段 水流应用动量方程，可以把沿管壁以及上下游过水断面所组成的封闭体作为控制体，此时该封闭体的动量方程为,44,应用动量方程式时要注意以下各点： 1动量方程式是矢量式，因此，必须首先选定投影轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。 2控制体一般取整个总流的边界作为控制体边界，横向边界

14、一般都是取过水断面。 3动量方程式的左端，必须是输出的动量减去输入的动量，不可颠倒。,45,4对欲求的未知力，可以暂时假定一个方向，若所求得该力的计算值为正，表明原假定方向正确，若所求得的值为负，表明与原假定方向相反。 5动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求解。,46,取如图所示控制体，作用 于控制体上的力包括两端 断面上的 动水压力，还有 管壁对水流的反作用力。,恒定总流动量方程式应用举例 一、弯管内水流对管壁的作用力 弯管中水流为急变流，动水压强分布规律和静水压强 不同，因此不能用静水压力的计算方法来计算弯管中液 体对

15、管壁的作用力。,47,沿x轴方向动量方程为 因 ， 代入上式可解出 沿z轴方向动量方程为（如果是y轴呢？） 由上式可解出 注解： 液体对弯管离心力的作用使弯头有发生位移的趋势，同时由于动水压力的脉动影响可以使管道产生振动，为此在工程大型管道转弯的地方，都设置有体积较大的镇墩将弯道加以固定。,48,二、水流对溢流坝面的水平总作用力 液体流经图示溢流坝坝体附近时，流线弯曲较剧烈，故坝面上动水压强分布也不符合静水压强分布规律，不能按静水压力计算方法来确定坝面上的动水总压力。 取如图所示控制体，并把1-1 和2-2断面取在符合渐变流条 件位置。作用在控制体积上 的外力在X轴方向上的投影， 包括1-1断面上的动水压力Fp1； 2-2断面上的动水压力Fp2；坝 体对水流的反作用力FRx，液 体的重力在x方向投影为零。,