《北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版高中数学必修四第2章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5 从力做的功到向量的数量积,1.通过物理中“功”的实例,理解平面向量数量积的含义及其几何意义、物理意义. 2.掌握平面向量数量积的主要性质及其运算律. 3.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,会用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系.,1,2,3,4,(2)垂直:如果向量a和b的夹角是90,我们就说向量a与b垂直,记作ab.规定:零向量可与任一向量垂直. 若a与b是非零向量,则aba,b所在的直线垂直.,(3)投影:|b|cos 叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影). 向量b在a上的投影不是向量而是数量,它的符号取决于角的范围.,1,2,3,4,名师点拨向量a,b的夹角与a,
2、b位置关系的对应如下表:,1,2,3,4,答案:120,【做一做1-2】 已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60,则b在a方向上的投影数量是 . 解析:|b|cos 60=2cos 60=1. 答案:1,1,2,3,4,2.向量的数量积 (1)数量积:已知两个向量a与b,它们的夹角为,我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos . (2)几何意义:a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos 的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos 的乘积.,1,2,3,4,名师点拨1.两个向量的数量积是一个数量,这个数量
3、的大小与这两个向量的长度及夹角有关. 2.数量积是向量之间的乘法, 它既不同于实数的乘法,也不同于实数与向量的积,它的结果是一个数量,书写时只能写成ab,不能写成ab或ab. 3.由向量的数量积的定义式,我们可以得出 它的几何意义是:向量b在向量a方向上的射影|b|cos 等于向量b和与向量a同向的单位向量的数量积(或内积).,1,2,3,4,答案:3,【做一做2-2】 如图,在RtABC中,A=90,AB=AC=1,则ABBC的值是 ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案:B,1,2,3,4,【做一做2-3】 已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60,则向量a在向量b方向上的
4、射影是 . 解析:向量a在向量b方向上的射影是 答案:2,1,2,3,4,3.向量数量积的性质 (1)若e是单位向量,则ea=ae=|a|cos . (2)若ab,则ab=0;反之,若ab=0,则ab.通常记作abab=0. (5)对任意两个向量a,b,有|ab|a|b|,当且仅当ab时,等号成立.,1,2,3,4,1,2,3,4,【做一做3-1】 已知向量a,b满足ab=2,|a|=1,|b|=4,则向量a,b的夹角为( ) 答案:C,【做一做3-2】 已知向量a与b的夹角为60,|a|=2,|b|=3,则|a-b|= .,1,2,3,4,4.运算律 (1)ab=ba; (2)(a)b=(a
5、b)=a(b); (3)a(b+c)=ab+ac. 【做一做4-1】 下列运算中不正确的是( ) A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)c=ac+bc C.m(a+b)=ma+mb D.(ab)c=a(bc) 答案:D,1,2,3,4,答案:C,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4,|b|=2,求: (1)|a+b|; (2)|3a-4b|. 分析:利用公式|a|2=a2进行计算. 解:ab=|a|b|cos
6、 =42cos 120=-4. (1)|a+b|2=a2+2ab+b2=|a|2+2|a|b|cos 120+|b|2=42+2(-4)+22=12,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2 =9|a|2-24|a|b|cos 120+16|b|2 =942-24(-4)+1622=304,题型一,题型二,题型三,题型四,a2+2ab+b2=27, |a|2+2|a|b|cos 120+|b|2=27, |a|2-3|a|-18=0, 解得|a|=6或|a|=-3(不符合题意,舍去).,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,
7、题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.求向量a与b的夹角的步骤是:(1)求出ab,|a|,|b|;(2)代入夹角公式求cos ;(3)结合的范围确定. 2.两非零向量a与b的夹角与ab的符号有如下关系:(1)当是锐角时,满足ab0且向量a与b不共线;(2)当是钝角时,满足ab0且向量a与b不共线;(3)当是直角时,满足ab=0.此结论可用来判断平面图形的内角是锐角、直角、还是钝角,也可用来求参数.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)a,(b-2a)b,则a与b的夹角是( ),答案:B,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一
8、,题型二,题型三,题型四,1,2,3,4,5,答案:B,1,2,3,4,5,2若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且ca,则向量a和b的夹角为( ) A.30 B.60 C.120 D.150 解析:ca,ca=(a+b)a=|a|2+ab=0, ab=-1. 0180,=120. 答案:C,1,2,3,4,5,3.已知向量a与b的夹角为120,且|a|=|b|=4,则ab的值为 . 解析:ab=|a|b|cos 120=-8. 答案:-8,1,2,3,4,5,4若|a|=3,|b|=5,且a+b与a-b垂直,则= . 解析:因为a+b与a-b垂直,所以(a+b)(a-b)=0,即|a|2-2|b|2=0,1,2,3,4,5,5.已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角=120. (1)求ab; (2)求a在b方向上的射影. 分析:已知向量a,b的模及其夹角,求ab及a在b方向上的射影,解答本题只需依据平面向量数量积的定义及其几何意义即可.,
