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1、冯 西 桥 清华大学工程力学系2006.11.21,第七章 平面弹性问题Plane Problems of Elasticity,清华大学本科生弹性力学,弹性力学,Chapter 7,第一章 绪论第二章 张量分析初步第三章 应力理论第四章 应变理论第五章 本构关系第六章 弹性理论的微分提法第七章 平面问题第八章 柱形杆问题第九章 空间问题第十章 能量方法,第七章 平面问题,Chapter 7,平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论,实际工程结构是空间物体 三维弹性力学问题ij (x,y,z) 6 个ij
2、(x,y,z) 6 个 坐标(x,y,z)的函数ui (x,y,z) 3 个两种解法: (1) 以ui (x,y,z)为基本未知量 (2) 以ij (x,y,z)为基本未知量 ij =(ui,j+ uj,i)/2 6 ij = (1+)ij - kk ij /E 6 ij =2Gij + kkij 6 emjkenil ij,kl = 0 6 - 3ij,j + fi = 0 3 ij,j + fi = 0 3 简化：减少未知量数,减少问题的维数（材料力学：一维） 弹性力学平面问题 二维问题：(x, y) 的函数,基本方程,Chapter 7.1,本构关系,位移表示的平衡方程（L-N方程）（3
3、） 位移边界条件（3）,位移解法,几何关系,基本框架,本构关系,应力协调方程（3） 应力平衡方程（3） 应力边界条件（3）,应力解法,几何关系,基本框架,平面问题及其分类,Chapter 7.1,但许多工程构件例如水坝、隧道、厚壁圆筒、滚柱以及承受面内载荷的薄板等，都可以简化为二维平面问题，它们的特点是：1. 几何上是柱形体，横截面形状沿形心轴z保持不变。且多数情况下是轴向尺寸比横截面尺寸大得多的柱形杆，或小得多的薄板。2. 承受面内载荷。全部载荷及约束力都沿横截面(xy平面)作用，在面内构成自平衡力系。轴向(z)分量均为零，且都沿轴向保持不变。,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面
4、问题产生的条件,1 结构几何特性：柱形体横截面形状与z无关 多数情况下： z 方向尺寸 横截面尺寸 柱形杆或： z 方向尺寸 横截面尺寸 薄板,平面问题及其分类,Chapter 7.1,2 载荷与约束：侧面只有x, y 平面内的外载荷作用侧面作用力与约束条件不随 z 变化。 若侧面无约 束，边界作用外力构成自平衡力系。z 的每个横截面，边界形状、给定力或位移边界条件完全相同，只是 x, y 的函数。只存在非零位移 u( x, y), v( x, y),平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应变问题平面应力问题广义平面应变问题广义平面应力问题,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平
5、面应变问题,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应变,基本假设：,几何上是柱形体，横截面形状沿形心轴 z 保持不变。且轴向尺寸比横截面尺寸大得多。,承受面内载荷。全部载荷及约束力都作用在横截面 ( xy平面) 内，在面内构成自平衡力系。轴向(z) 分量均为零，且都沿轴向保持不变。,没有轴向应变：,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应变,平面问题非零位移 u( x, y), v( x, y)柱体两端面沿轴向固定 w ( x, y, z) = 0,非零应变分量 x , y , xy ( x, y),平面问题及其分类,Chapter 7.1,x =x(x,y) y =y(x,y
6、) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0,平面应变问题基本场变量：,sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0,u =u(x,y) v =v(x,y) w = 0,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应变,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应变,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应力问题,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应力问题,基本假设：,几何上是平面状薄板，其厚度远远小于面内特征尺寸。,承受面内载荷。全部载荷及约束力都作用在横截面 ( xy平面) 内
7、，在面内构成自平衡力系。在所有位置，法向 (z) 分量均为零。,板的上下表面没有外力左右：,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应力,t,柱体端面自由: z =xz = yz = 0 设柱体内部： z =xz = yz = 0 满足此条件者为： 严格的平面应力问题,平面问题及其分类,Chapter 7.1,x =x (x,y) y =y (x,y) xy =xy (x,y) z =z (x,y) xz =yz = 0,平面应力问题场变量：,sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =0 txz =tyz =0,u =u (x,y) v =v (
8、x,y) w = w (x,y) 0,t,平面问题及其分类,Chapter 7.1,基本场变量：,平面应变,平面应力,x =x(x,y) y =y(x,y) xy =xy(x,y) xz =yz=z = 0,sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0,u =u(x,y) v =v(x,y) w = 0,平面问题及其分类,Chapter 7.1, x , y , xy , z 不独立,即在平面应变状态中只出现三个面内的应变分量，而应力分量有四个: x ,y ,xy, z ；在平面应力状态中只出现三个面内的应力分量，
9、而应变分量有 x , y , xy , z 四个。,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面问题的基本方程：本构方程,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应力问题的各向同性线弹性本构关系,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应变 平面应力 应力-应变,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应变 平面应力 应变-应力,平面问题及其分类,Chapter 7.1,可以看到： 除了存在三个面内应力、应变分量外，平面应变问题中轴向应力z0，平面应力问题中轴向应变z0，这是两类平面问题的重要区别。 非零的z或z都是不独立的，可以通过相应的面内分量来表示。所以求解两类平面问
10、题时都只考虑面内的三个应力、应变分量。,平面问题及其分类,Chapter 7.1,如果将平面应力中的弹性常数E, G, 改为则化为平面应变的本构方程。,其中,平面问题及其分类,Chapter 7.1,反之如将平面应变各式中的 E, G, 改为 则化为平面应力本构方程。,即,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平衡方程对于两类平面问题平衡方程都简化为：,平面问题及其分类,Chapter 7.1,协调方程,三维协调方程：,平面问题协调方程：,平面应变问题：,非平凡的方程：,平面问题及其分类,Chapter 7.1,协调方程,平面问题及其分类,Chapter 7.1,协调方程,三维协调方程：,
11、平面问题协调方程：,平面应力问题：,平面问题及其分类,Chapter 7.1,协调方程,平面应力问题：,如果 m 和 n 都不等于3, 则指标 i 和 j 必须都等于3，以避免平凡恒等式 00 ;,平面问题及其分类,Chapter 7.1,协调方程,平面应力问题：,如果 m 和 n 都等于3, 则与平面应变情况相同 ;如果 m 和 n中只有一个等于3, 则得到平凡恒等式 00.,平面问题及其分类,Chapter 7.1,其解是：将 代入上式得：,(A, B, C为常数),(a,b,c为常数),对于平面应力情况，第二、第三和第六协调方程不能自动满足，它们分别简化为：,平面问题及其分类,Chapt
12、er 7.1,只要应变分量满足面内协调方程，则平面应变状态一定存在。但对平面应力问题还必须满足线性条件(1)或(2)式，即轴向应变 z 或第一应力不变量 应为坐标 x, y 的线性函数，否则平面应力状态不存在。,平面问题及其分类,Chapter 7.1,广义平面应力问题,对于轴向尺寸远小于截面尺寸的薄板型构件，或在物体自由表面附近的一薄层内，可以证明应力z和面内应力分量相比可以忽略，因而即使不满足线性条件，仍可以近似地按平面应力状态处理，称为广义平面应力状态。应该指出，在广义平面应力状态中，面内应力、应变和位移分量沿板厚是变化的，此时所考虑的是它们沿板厚的平均值。,平面问题及其分类,Chapt
13、er 7.1,广义平面应力问题,面内应力、应变和位移分量沿板厚是变化的，此时认为它们沿板厚的平均值满足所有面内基本方程。,平面问题及其分类,Chapter 7.1,几何方程由于 zyzx0 以及 z0 或 z 不独立(平面应力)，对于两类平面问题，几何方程均表示为：,平面问题及其分类,Chapter 7.1,关于轴向位移 w，两类平面问题分别讨论。 对于平面应力状态，有,其中，w00 是 z0 截面上的轴向位移。,平面问题及其分类,Chapter 7.1,由于平面问题的几何形状、载荷与约束均与z无关，选坐标使该截面的坐标z0，则由对称性得 ：上式简化为：,平面问题及其分类,Chapter 7.
14、1,仅当变形后截面仍保持平面时，平面应力状态才能存在。,对于平面应变状态，z0，,这意味着平面应变状态要求在端面或侧面有足够的位移约束，以保证在柱形体内处处 w0 或 z0,平面问题及其分类,Chapter 7.1,边界条件由于zxzy0 和 30，两类平面问题的侧面力边界条件都简化为：,因面内应力分量与z无关，意味着仅当侧面外载荷是与 z 无关的面内载荷时，才能简化为平面问题。,平面问题及其分类,Chapter 7.1,端面的力边界条件分别为：,平面应变,平面应力,平面问题及其分类,Chapter 7.1,平面应变状态：两端必须存在按左式分布的端面载荷，或轴向刚性、面内光滑的端面约束。 如果
15、端面载荷不按上述分布，但和它静力等效；或端面约束在面内有摩擦，在平面应变状态仅存在于两端圣维南过渡区之外。如果连静力等效也不保证，则按广义平面应变处理。,平面问题及其分类,Chapter 7.1,广义平面应变受自平衡面内载荷(或约束力)以及端面法向载荷(或约束力)作用的柱形杆，都可按广义平面应变问题来处理。,平面问题及其分类,Chapter 7.1,小结： 基于上述系统的理论分析，可建议平面问题分量的步骤如下： 首先判断轴向是否被完全约束。若是，则不管是端面约束还是侧面约束，也不管柱形杆的长短，均为平面应变状态。 若否，再看端面是否自由(无端面载荷)。若是，进一步检查线性条件。若满足，则不管柱形杆的长短均为平面应力问题；若不满足，则只有轴向很薄的平板或在自由表面附近一薄层内才存在(广义)平面应力状态。 凡不能按以上两条直接判断为平面应变或平面应力的问题，都可按广义平面应变情况处理。,
