材料力学第八章-组合变形

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1、Chapter8 Combined deformation,第八章 组合变形,第八章 组合变形 （Combined deformation）,8-2 拉伸（压缩）与弯曲的组合（Combined axial and flexural loads）,8-3 偏心拉（压）截面核心(Eccentric loads &the kern（or core）of a section),8-4 扭转与弯曲的组合 （Combined torque and flexural loads）,一、组合变形的概念（Concepts of combined deformation） 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本

2、变形,则构件的变形称为组合变形.,二、解决组合变形问题的基本方法叠加法 （Basic method for sloving combined deformation-superposition method）,叠加原理的成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系.,8-1 组合变形和叠加原理（Combined deformation and superposition method）,三、工程实例 （Engineering examples）,1.外力分析（Analysis of external force）将外力简化并沿主惯性轴分解,将组合变形分解为基本变形,使之每个力（或力偶

3、）对应一种基本变形,3.应力分析（Stress analysis）画出危险截面的应力分布图,利用叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件,四、处理组合变形的基本方法 （Basic method for solving combined deformation）,2.内力分析（Analysis of internal force ）求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形,一、受力特点 （Character of external force）,杆件将发生拉伸 （压缩 ）与弯曲组合变形,作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压

4、)力,还有横向力,二、变形特点（Character of deformation）,8-2 拉伸（或压缩）与弯曲的组合 （Combined axial loading and bending）,F1 产生弯曲变形,F2 产生拉伸变形,Fy 产生弯曲变形,Fx 产生拉伸变形,示例1,示例2,三、内力分析（Analysis of internal force）,横截面上内力（internal force on cross section）,2.弯曲 ,1.拉(压) :轴力 FN （axial force）,弯矩 Mz （bending moment）,剪力Fs（shear force）,因为引起的

5、切应力较小,故一般不考虑.,横截面上任意一点 （ z, y） 处的正应力计算公式为,四、应力分析（Analysis of stress）,1.拉伸正应力（Axial normal stress）,2.弯曲正应力（Bending normal stress）,轴力（axial force）,所以跨中截面是杆的危险截面,F2,F2,l/2,l/2,3.危险截面的确定（Determine the danger cross section）,作内力图,弯矩（bending moment）,拉伸正应力,最大弯曲正应力,杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为,4.计算危险点的应力（Calculating s

6、tress of the danger point）,F2,F2,l/2,l/2,当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时,应分别建立 杆件的抗拉和抗压强度条件.,五、强度条件（Strength condition）,由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态,故其强度条件为:,例题1 悬臂吊车如图所示,横梁用20a工字钢制成. 其抗弯刚度Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2,总荷载F= 34kN,横梁材料的许用应力为=125MPa.校核横梁AB的强度.,解：（1） 分析AB的受力情况,AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形,中间截面为危险截面.最大压应力发生在该截面的上边缘,（2）

7、压缩正应力,（3） 最大弯曲正应力,（4）危险点的应力,例题2 小型压力机的铸铁框架如图所示.已知材料的许用拉应力 t =30MPa ,许用压应力 c =160MPa.试按立柱的强度确定压力机的许可压力F.,50,50,150,150,解：（1）确定形心位置,A=1510-3 m2,z0 =7.5 cm,Iy = 5310 cm4,计算截面对中性轴 y 的惯性矩,50,50,150,150,（2） 分析立柱横截面上的内力和应力,在 n-n 截面上有轴力 FN及弯矩 My,n,n,350,F,F,50,50,150,150,由轴力 FN产生的拉伸正应力为,n,n,350,F,F,50,50,15

8、0,150,由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为,50,50,150,150,n,n,350,F,F,（3）叠加,在截面内侧有最大拉应力,50,50,150,150,n,n,350,F,F,在截面外侧有最大压应力,F 45.1 kN,所以取,50,50,150,150,n,n,350,F,F,例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽,使截面面积为原来截面面积的一半.求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍.,F,F,1,1,未开槽前立柱为轴向压缩,解：,F,开槽后1-1是危险截面,危险截面为偏心压缩,将力 F 向1-1形心简化,例题4 矩形截面柱如图所示,F1的作用线与杆轴线重合, F2作用在

9、 y 轴上.已知:F1= F2=80kN,b=24cm,h=30cm.如要使柱的 m-m 截面只出现压应力,求F2的偏心距e.,解：,（1）外力分析 将力 F2 向截面形心简化后,梁上的外力有,轴向压力,力偶矩,F1,m,m,（2）m-m 横截面上的内力有,轴力,弯矩,轴力产生压应力,弯矩产生的最大正应力,（3）依题的要求,整个截面只有压应力,得,F1,m,m,8-3 偏心拉（压） 截面核心 （Eccentric loads &the kern of a section）,1.定义（Definition） 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时, 将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形.,

10、一、偏心拉（压） （Eccentric loads）,x,y,z,2.以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例,（1）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种基本变形形式,轴向拉力 F,力偶矩 M = F e，,将 M向y轴和z轴分解,F 使杆发生拉伸变形,My 使杆发生xOz平面内的弯曲变形（y 为中性轴）,Mz 使杆发生 xOy 平面内的弯曲变形（z 为中性轴）,二、任意横截面n-n上的内力分析（Analysis of internal force on any cross section n-n）,轴力 FN= F,弯矩,三、任意横截面 n-n 上C 点的应力分析 （

11、Stress analysis at point C on cross section n-n）,由 F产生的正应力,由 My 产生的正应力,由 Mz 产生的正应力,由于 C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知,由叠加原理,得 C点处的正应力为,均为拉应力,式中,A为横截面面积;,Iy , Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩;,（zF，yF ） 为力 F 作用点的坐标;,（z，y）为所求应力点的坐标.,上式是一个平面方程.表明正应力在横截面上按线性规律变化.应力平面与横截面的交线（直线 = 0）就是中性轴.,四、中性轴的位置（The location of neutral axis

12、）,令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标,即得中性轴方程,讨论,（1）在偏心拉伸 (压缩) 情况下, 中性轴是一条不通过截面形心的直线,y,z,O,（2） 用 ay和 az 记中性轴在 y , z 两轴上的截距,则有,（3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧,z,（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区,横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 , D2 两切点,(a),(b),(c),y,y,z,z,（5）对于周边具有棱角的截面,其危险点必定在截面的棱角处, 并可根据杆件的变形来确定,y,z,FyF/Wz,最大拉应力 tmax 和最大压应力 cmin 分别在截面的

13、棱角 D1 D2 处.无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可,五、强度条件 （Strength condition）,由于危险点处仍为单向应力状态,因此,求得最大正应力后,建立的强度条件为,y,z,六、截面核心（The kern of a section）,（yF，zF）为外力作用点的坐标,ay,az为中性轴在y轴和z轴上的截距,当中性轴与图形相切或远离图形时,整个图形上将只有拉应力或只有压应力,y,z,y,z,y,z,y,z,截面核心,1.定义（Definition）当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时,就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力）,这个区

14、域就称为截面核心 （the kern of a section）,y,z,当外力作用在截面核心的边界上时,与此相应的中性轴正好与截面的周边相切.截面核心 的边界就由此关系确定.,2.截面核心的确定（Determine the kern of a section）,例5 求圆形截面的截面核心,y,z,O,d,解: （）作切线 为中性轴 ,在两个形心主惯性轴上的截距分别为,圆截面的惯性半径,（）由于圆截面对于圆心O是对称的,因而,截面核心的边界对于圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以O为圆心,以d/8为半径的圆,解:作切线 为中性轴，得两截距分别为,矩形截面的,例6 求矩形截面的截面核心

15、,（2）同理,分别作切线 、 、 ， 可求得对应的核心边界上点的坐标 依次为,（3）矩形截面核心形状分析,直线绕顶点B旋转到直线时,将得到一系列通过 B点但斜率不同的中性轴,而 B点坐标 yB , zB 是这一系列中性轴上所共有的.,这些中性轴方程为,上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程.,故外力作用点移动的轨迹是直线.,（a）对于具有棱角的截面,均可按上述方法确定截面核心,（b）对于周边有凹进 部分的截面（如T字形截面）,能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴,因为这种直线穿过 横截面.,（4）讨论 （discussion）,研究对象（research object） 圆截面杆（circular bars）,受力特点（character of external force）杆件同时承受转矩和横向力作用,