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1、补高等数学: 矢量(向量)代数 (同济大学高等数学第五版 第7章第一、二节),一、矢量(向量)的概念及其表示1.标量与矢量(向量),2.矢量的表示,(1)图示:有(方)向线段:,(3)矢量的平行:a / b(箭头指向可相同或相反),(4)矢量的相等: 大小、方向(含指向)都相同 所以,一般情况下,矢量可以任意平行移动,也称自由矢量。,(2)符号:粗(黑)体或加箭头:a,b或,(5)负矢量:-a(与a大小相同、方向(指向)相反),3.矢量的模:,4.单位矢量: ,仅用来表示方向。所以:,注:空间直角坐标系X、Y、Z轴的 单位矢量分别为,5.矢量的坐标分解式(分量式),矢径(向径:从原点出发的矢量
2、),一般地:,其中,ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴上的分量或投影。而 注意:分量是代数量(可正可负)!,恒为正,所以,矢径或其末端的点P都可以用三个坐标(x,y,z)来表示.,则称分矢量(分向量),由,若P点(或矢径 )在YOZ平面上,则 x=0;若P点(或矢径 )在ZOX平面上,则 y=0;若P点(或矢径 )在XOY平面上,则 z=0。若P点(或矢径 )在 x 轴上,则 y=z=0;若P点(或矢径 )在 y 轴上,则 x=z=0;若P点(或矢径 )在 z 轴上,则 x=y=0。若P点为原点,则x=y=z=0,或 P(x,y,z)可知:,6.已知矢量的分量求矢量的大小和
3、方向,大小:矢径的大小:,一般地:,方向:方向角、或方向余弦:,7.已知矢量的模和方向角(或方向余弦)求矢量的分量,注意:因为方向角可以是锐角或钝角,因此方向余弦可正可负,所以矢量的分量也可正可负,是代数量。,二、矢量的加减法,1.矢量相加的平行四边形法则(见图7-3),2.矢量相加的三角形法则(见图7-2),3.多个矢量相加的多边形法则(见图7-5),5.矢量的减法 因为:,由矢量相加的三角形法则可得:,即:从同一点出发作减矢量和被减矢量,则从减矢量的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。,4.矢量的加法所满足的运算规律 (1)交换律: (2)结合律:,6.矢量加减的坐标表示式,三、矢量
4、与数量的乘法,1.定义:,模(大小):,方向,当 0时(可视为 ) 方向与 相同 当 0时(可视为 ) 方向与 相反,2. 满足的运算规律 (1)与另一个数量相乘的结合律:,3.矢量与数量相乘的坐标表示式,(2)分配律:,四、两矢量的标量积(标积、数量积、点积、点乘),1.定义:引入:恒力对作直线运动的物体所作的功:,一般地:,2.两个推论: (1),(2)若两非零矢量 ,则,反之,若 ,则必有,注意;“点”不能掉!,3.标量积满足的运算规律,(1)交换律:,(2)分配律:,(3)满足一定条件下的结合律(略),4.标量积的坐标(分量)表示式,五、两矢量的矢量积(矢积、向量积、叉积、叉乘),1.
5、定义:如力矩:大小:,力矩是矢量,方向沿转轴, 指向按 的顺序,用 右(手)螺旋法则确定。,注意;“”不能掉!,2.两个推论:,(1),(2)若两个非零矢量 ,则:,反之,若 ,则必有:,3.满足或不满足的运算规律,(1)不满足交换律,而是:,(2)满足分配律:,(3)满足如下的结合律:,4.矢量积的坐标(分量)表示法和行列式表示法,或,5.矢量积(大小)的几何意义,以 为邻边的平行四边形的面积。,作业: 阅读高等数学P289307 整理笔记或小结(点乘、叉乘对照),复习:标量积和矢量积,标量积满足交换律:,矢量积不满足交换律, 而是:,标量积:,矢量积:,微积分 (高等数学第二章第一、二、三
6、、五节; 第四章第一、五节;第五章第一、二节 ),第一节 导数与微分 一、导数的概念实例:直线运动的速度直线取为s轴,则质点在任一时刻t 的位置s (即动点 的坐标)是时间t 的函数,记为:,如匀速直线运动:若设,对匀加速直线运动:若设,则有,则有,下面求某一时刻t0的(瞬时)速度,匀速运动:瞬时速度等于平均速度,非匀速运动: t0到t 时间段的平均速度:,欲求t0的瞬时速度,可令t接近于t0, 则此时平均速度的极限值就是t0时刻的瞬时速度。即,称为 s 对 t 的导数,即:瞬时速度等于质点的位置(坐标)对时间的导数,一般地,若y是x的函数, y 对x的导数:,注:(1)在某一个点的导数记为:
7、,(2)导数的意义:函数随自变量的变化率。,二、常用的导数公式:,三、函数的和、差、积、商的导数,四、复合函数的求导法则,例如:作简谐振动的质点的位置 x 是时间t 的函数:,例1,求匀速直线运动的速度: 若设,求匀加速直线运动的速度: 若设,则:,则有,所以速度:,例2,所以速度:,五、高阶导数,例如:直线运动的速度是时间的导数,而加速度又是速度随时间是变化率即导数, 所以可得:,或,这种导数的导数称为二阶导数。 一般地,y对x的二阶导数为:,类似地,可定义三阶、四阶导数,统称高阶导数。,例:匀速直线运动,加速度,又如,匀加速直线运动:,例1:,例2:,六、微分,1.微分的概念:,dy、dx
8、(以及前面的ds、dt)都叫做微分。 所以, 也称微商(二微分之商),冷缩:,注:物理上也常指一个量(分成无限多份)其中(无限小的)一份:,微分的含义:微小(无限小)增量。如 热胀:,2.微分和导数的几何意义,dx 、 dy分别是曲线上某点x、y坐标的微小增量; 而导数 是曲线这一点处切线的斜率。,3.函数的微分公式(等于导数公式乘以自变量的微分)(见P115116),4.微分的运算法则、和、差、积、商的微分、复合函数的微分(与导数类似,见P116),(见P115图2-11),P117例3:,例4:,例5:,第二节 积分,一、不定积分的概念 原函数:设F(x)的导(函)数是 f(x),即,那么
9、,F(x)就称为f(x)的原函数。例如,即积分是已知导(函)数求原函数,而求导(微分)是已知原函数求导(函)数,所以积分是微分的逆运算。,所以,定义不定积分:,+ C,例1:,例2:,例3:求作匀速直线(取为s 轴,且t=0时,s= s 0)的质点在任意时刻 t 的位置。,解:,即s是v的原函数,所以:,代入上式,得C=s0,所以,二、常用积分表(详见P186),例:,三、定积分 1.定积分的意义,求连续分布的无限多个无限小部分之和。 几何意义:求曲边梯形的面积(即曲线,所围成的图形的面积) 。,总面积:,n越多,小面积之和越接近曲边梯形的面积,当 ,量变到质变:,称积分表达式,a称积分的下限
10、,b称积分的上限。,其中,又如:求变速直线运动(v=v(t)的路程: 将路程分成很多小段,每一小段内可近似看成匀速:,0,s,令 求极限,即得总路程为:,2.定积分的计算牛顿-莱布尼茨公式,若 f(x)的一个原函数是 F(x),则定积分:,例1:,例2:,例3:,P238例5 求汽车制动距离。已知:,解:匀变速,四、积分的性质,(常数可提出积分号外),(交换上下限变号),(6)平均值的求法定积分中值定理,如平均速度:,一般地,函数 f(x)在区间a,b上的平均值:,所以,平均值的求法:,注意:一般情况下,函数 f(x)在区间a,b上的平均值:,只对线性函数f(x)=C+kx(C、k为常数)等号才成立,五、积分表的使用(见书P218220。积分表在P347),积分表(六)为“含有 的积分”,其中 公式37与其相似,但不完全相同,故须“变量代换”注意:x和dx也要变!,例3 求,