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1、圆锥曲线二级推论 1 / 14 椭椭 圆圆 1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角外角. 2. PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则 焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹 是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准 线相离相离. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长 轴为直径的圆内切内切. 5. 若在椭圆上，则过 000 (,)P xy 22 22 1 xy ab 的椭圆的切线方程是. 0 P 00 22 1 x xy y ab 6. 若在椭圆外 ，则过 000 (,)P xy 22 22 1 xy ab Po
2、 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2， 则切点弦 P1P2的直线方程是 . 00 22 1 x xy y ab 7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分 22 22 1 xy ab 别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦点角形的面积 12 FPF 为. . 12 2 tan 2 F PF Sb 8. 椭圆椭圆（ab0）的焦半径公）的焦半径公 22 22 1 xy ab 式：式： ,( , 10 |MFaex 20 |MFaex 1( ,0)Fc ). 2( ,0) F c 00 (,)M xy 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连
3、结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于 两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶 点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11. AB 是椭圆的不平行于对称 22 22 1 xy ab 轴的弦，M为 AB 的中点，则),( 00 yx ， 2 2 OMAB b kk a 即。 0 2 0 2 ya xb KAB 双曲线双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在 点 P 处的内角内角. 2. PT 平分PF1F2在点 P 处的内角， 则焦点在直线
4、PT 上的射影 H 点的 轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应 准线相交相交. 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以 实轴为直径的圆相切相切.（内切：P 在 右支；外切：P 在左支） 圆锥曲线二级推论 2 / 14 5. 若在双曲线 000 (,)P xy （a0,b0）上，则过 22 22 1 xy ab 的双曲线的切线方程是 0 P . 00 22 1 x xy y ab 6. 若在双曲线 000 (,)P xy （a0,b0）外 ，则过 22 22 1 xy ab Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线
5、方程 是. 00 22 1 x xy y ab 7. 双曲线（a0,bo）的 22 22 1 xy ab 左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为 双曲线上任意一点，则 12 FPF 双曲线的焦点角形的面积为 . 12 2 t 2 F PF Sb co 8. 双曲线双曲线（a0,bo）的）的 22 22 1 xy ab 焦半径公式：焦半径公式：( , 1( ,0)Fc 2( ,0) F c 当当在右支上时，在右支上时， 00 (,)M xy ,. 10 |MFexa 20 |MFexa 当当在左支上时，在左支上时， 00 (,)M xy , 10 |MFexa 20 |MFexa 9. 设过双
6、曲线焦点 F 作直线与双曲线 相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴 上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲 线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲 线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于 点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11. AB 是双曲线 （a0,b0）的不平行 22 22 1 xy ab 于对称轴的弦，M为 AB 的),( 00 yx 中点，则，即 0 2 0 2 ya xb KK ABOM 。 0 2 0 2 ya xb KAB 12. 若在双曲线 00
7、0 (,)P xy （a0,b0）内，则被 22 22 1 xy ab Po 所平分的中点弦的方程是 . 22 0000 2222 x xy yxy abab 13. 若在双曲线 000 (,)P xy （a0,b0）内，则过 22 22 1 xy ab Po 的弦中点的轨迹方程是 . 22 00 2222 x xy yxy abab 椭圆与双曲线的对偶椭圆与双曲线的对偶 性质性质-椭椭 圆圆 1. 椭圆（abo）的两个 22 22 1 xy ab 顶点为,，与 y 轴平 1( ,0)Aa 2( ,0) A a 行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程是 . 22
8、22 1 xy ab 2. 过椭圆 (a0, b0)上任 22 22 1 xy ab 一点任意作两条倾斜角互 00 (,)A xy 补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直 线 BC 有定向且（常数）. 2 0 2 0 BC b x k a y 3. 若 P 为椭圆（ab0） 22 22 1 xy ab 圆锥曲线二级推论 3 / 14 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是 焦点, , ，则 12 PFF 21 PF F .tant 22 ac co ac 4. 设椭圆（ab0）的两 22 22 1 xy ab 个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点） 为椭圆上任意一点，在PF1F2中， 记,
9、12 FPF ,，则有 12 PFF 12 FF P . sin sinsin c e a 5. 若椭圆（ab0）的左、 22 22 1 xy ab 右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e时，可在椭21 圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对 应准线距离 d 与 PF2的比例中项. 6. P 为椭圆（ab0）上 22 22 1 xy ab 任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆 内一定点，则 ,当且 211 2| | 2|aAFPAPFaAF 仅当三点共线时，等号成立. 2 ,A F P 7. 椭圆与直线 22 00 22 ()() 1 xxyy ab 有公共点的充要条件0AxB
10、yC 是. 22222 00 ()A aB bAxByC 8. 已知椭圆（ab0） ，O 22 22 1 xy ab 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动 点，且.OPOQ 1); 2222 1111 |OPOQab 2) |OP|2+|OQ|2的最大值为; 22 22 4a b ab 3)的最小值是. OPQ S 22 22 a b ab 9. 过椭圆（ab0）的右 22 22 1 xy ab 焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线 交 x 轴于 P，则. | |2 PFe MN 10. 已知椭圆（ ab0） 22 22 1 xy ab ,A、B、是椭圆上的两点，线
11、 段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于 点, 则. 0 (,0)P x 2222 0 abab x aa 11. 设 P 点是椭圆（ 22 22 1 xy ab ab0）上异于长轴端点的任一 点,F1、F2为其焦点记， 12 FPF 则 1). 2 12 2 | 1 cos b PFPF 2). 1 2 2 tan 2 PF F Sb 12. 设 A、B 是椭圆（ 22 22 1 xy ab ab0）的长轴两端点，P 是椭 圆上的一点，, ,PABPBA ，c、e 分别是椭圆的半焦BPA 距离心率，则有(1) .(2) 2 222 2|cos| | s ab PA ac co .(3) 2
12、tantan1 e . 22 22 2 cot PAB a b S ba 圆锥曲线二级推论 4 / 14 13. 已知椭圆（ ab0）的 22 22 1 xy ab 右准线 与 x 轴相交于点，过椭lE 圆右焦点的直线与椭圆相交于F A、B 两点,点在右准线 上，且Cl 轴，则直线 AC 经过线段BCx EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线， 与以长轴为直径的圆相交，则相应 交点与相应焦点的连线必与切线垂 直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线 交相应准线于一点，则该点与焦点 的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的 距离与以该焦点为端点的焦半径
13、之 比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点 的内、外角平分线与长轴交点分别称 为内、外点.） 17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非 焦顶点连线段分成定比 e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、 外点到椭圆中心的比例中项. 椭圆与双曲线的对偶性椭圆与双曲线的对偶性 质质-双曲线双曲线 1. 双曲线（a0,b0） 22 22 1 xy ab 的两个顶点为,， 1( ,0)Aa 2( ,0) A a 与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨 迹方程是. 22 22 1 xy ab 2. 过双曲线 （a0,bo）上任一 22 22 1 xy a
14、b 点任意作两条倾斜角互 00 (,)A xy 补的直线交双曲线于 B,C 两点， 则直线 BC 有定向且 （常数）. 2 0 2 0 BC b x k a y 3. 若 P 为双曲线 （a0,b0）右（或 22 22 1 xy ab 左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , 12 PFF ，则 21 PF F （或tant 22 ca co ca ）.tant 22 ca co ca 4. 设双曲线 （a0,b0）的两个 22 22 1 xy ab 焦点为 F1、F2,P（异于长轴端 点）为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记, 12 FPF ,，则有 12 PFF 12 FF
15、 P 圆锥曲线二级推论 5 / 14 . sin (sinsin) c e a 5. 若双曲线 （a0,b0）的左、 22 22 1 xy ab 右焦点分别为 F1、F2，左准线 为 L，则当 1e时，可21 在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项. 6. P 为双曲线 （a0,b0）上任一 22 22 1 xy ab 点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线 内一定点，则 ,当且仅当 21 | 2|AFaPAPF 三点共线且和在 2 ,A F PP 2 ,A F y 轴同侧时，等号成立. 7. 双曲线（a0,b0） 22 22 1 xy ab 与直线有公共点0AxByC 的充要条件是. 22222 A aB bC 8. 已知双曲线（ba 22
