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1、数学建模与数学实验,制作 重庆大学数学与统计学院,数学建模初步,数学模型的分类,数学建模的基本方法和步骤,什么是数学模型,数学建模范例,怎样学习数学建模,什么是数学模型,玩具、建筑物模型、飞机、火箭模型 ,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机 ,物理模型,地图、电路图、分子结构图 ,符号模型,什么是数学模型,模型是为了一定目的，对客观事物 的一部分进行简缩、抽象、提炼出 来的原型的替代物,模型集中反映了原型中人们需要的 那一部分特征,什么是数学模型,对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程 （包括
2、假设、表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,例 ：交通路口红绿灯,十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆汽车？,假设,1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。 2. 车距相同，启动延迟时间相等。 3. 直行，不拐弯，仅考虑公路一侧或单行线上的车辆。 4. 秩序良好，不堵车。 建立坐标系:原点O表示交通灯位置, 以绿灯开始亮时为时刻0.,x,符号,L 车长，D 车距，a 加速度，T 相邻两车启动的延迟时间,Sn(t）时刻t，第n辆车所在的位置tn: 第n辆车开始启动的时刻,模型,设最高限速为v*, 第 n 辆汽车达到限速的时刻为tn*附加假设:绿灯亮后汽车将匀加速启动直到最高限速,并
3、以该速度匀速地向前行驶.则: tn*=v*/a+tn tn=(n-1)TSn(t) = Sn(0)=-(n-1)(L+D) ttnSn(t) =Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tntn *,参数估计,L=5m，D=2m，T=1s，v*=40km/h=11.1m/s 经调查大部分司机声称:10秒内车子可以由静止加速到大约26米/秒a=2.6m/s2, 保守一点, 取a=2m/s2则有v*/a=5.5s,结论,计算出绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如下S1(15)=135.7m, S2(15)=117.6m, S3(15)=99.5m, S4(15)=81.4m, S5(15)
4、=63.3m, S6(15)=45.2mS7(15)=27.1m, S8(15)=9m, S9(15)=-9.1m 该路口最多通过八辆汽车,思考题,1. 调查一个路口有关绿灯亮的时间和通过路口的汽车的数量和有关参数,验证模型是否正确,进一步完善此模型。位置,走向,车道数,时间。 绿灯时间,通过的车数(至少三次)。 数据不同的原因。模型的假设与实际是否一致。模型的参数与实际是否一致。模型的计算结果与观测结果是否一致？不一致时，为什么？如何修改模型。,2. 分析汽车开始以最高限速穿过路 口的时间。 3. 给出穿过路口汽车的数量依赖于绿灯亮的时间的数学模型。能否通过分析这个模型对这个路口交通流量的优
5、化管理提出改进建议.,思考题,当今人类面临的五大问题： （1）人口问题；（2）工业化的资金问题； （3）粮食问题；（4）不可再生的资源问题；（5）环境污染问题（即生态平衡问题）。 人口问题名列榜首。建立人口增长的数学模型，用以描述人口增长过程，通过分析对人口增长进行预测，制定相应的人口政策以控制人口增长，于国于民均有利。,例 人口增长模型,影响因素,人口的基数,出生率和死亡率,工农业生产水平,性别 比例,年龄结构,医疗水平,环境污染,假设：1）每年的出生率为常数b ；2）每年的死亡率为常数d. 则由第k年的人数可以计算出第k+1年的人数Nk+1= Nk+bNk dNk k=1,2,3, 即：N
6、k+1= (bd+1)Nk k=1,2,3, 令r= bd（称为人口增长率） 则Nk+1= (1+ r )Nk k=1,2,3, 称为差分方程模型 解之得： Nk+1= (1+ r )kN1= (1+ r )k+1N0,1. 差分方程模型,只考虑影响人口增长的主要因素增长率（出生率减去死亡率）及人口基数。,设 表示 t 时刻人口总数和增长率，,则在t到t+t这段时间内人口总数增长为,两端同除以 ，并令 ，有,2. 指数增长模型或Malthus模型(1798年),2. 指数增长模型或Malthus模型(1798年),假设：人口增长率是一个常数 .,令 (常数)，得,其解为,随着时间增加，人口按指
7、数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,3. 模型改进： Logistic模型,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,设r(N) 是人口数N的线性函数, 且r(0)=r(人口很少时的增长率,称为固有增长率) K为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）, 当N=K时,人口不再增长, 即增长率r(K)=0.,模型改进： Log
8、istic模型,求解得 r(N)=r(1N/K)，因此,即有,N(t)-S形曲线, N 增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),模型分析,参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必 须先估计模型参数 r 或 r, K,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,参数估计,人口预报,N(2010)=298.1, N(2020)=318.6,指数增长模型 r=0.2022,可考虑年龄结构和生育模式的人口模型，参考姜启源主编的数学模型（第四版）。,进一步改进,用前面得到的参数r和K代入函数N(t)中,将计算结果与实际数据作比较,得下表和前面的图。,结果分析,推
9、广,阻滞增长模型(Logistic模型)是荷兰生物数学家Verhulst于19世纪中叶提出的，它不仅能大体上描述人口及许多物种数量的变化规律，如森林中的树木、鱼塘中的鱼群 而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费品的售量影响增长率的出生率和死亡率与年龄有关，所以，更合乎实际的人口模型应该考虑年龄因素。,新产品的销售量变化规律一种新产品进入市场以后，产品的销售量一般会经过“先增后逐渐平稳略有下降”的一个过程，这称为产品的生命周期。怎样使用数学模型来描述新产品的销售量的变化过程呢？,一个数学建模示例,1. 问题分析促使消费者去购买该商品的信息传播途径：1）来自消费者以外的信息；2）来自消费者
10、内部的信息。,新产品的销售量变化规律,2. 合理假设,1）设潜在的消费者人数为N ；x(t)为t时刻购买了该产品的人数，并且认为变量x(t)随时间变化是连续的；2）购买者增量 由两部分组成，一是由外部信息导致消费者增加，其增量记为 ；二是由内部信息导致消费者增加，记为 ；3）由外部信息导致消费者增量与未购买者人数成正比4）由内部信息导致购买者增量与已购买者人数和未购买者人数之积成正比。,3. 建立数学模型,由假设 3）可得：,由假设 4）可得：,再由假设 2）知：,因此,4. 模型求解,求解上页的微分方程，得：,该问题解含有未知参数 ，如何确定它们呢？方法是采样，收集某产品从推向市场以来其销售
11、情况的统计数据，根据数据分析，用最小二乘法将模型中的未知参数辨识出来。,4. 模型求解,例如，使用某产品一段时期的销售统计数据，对模型中的参数进行参数辨识，得到,产品销售量曲线,基本反映出产品的生命周期，先增后逐渐平稳略有下降。,5. 模型检验,解曲线或图形，是否能应用于实际？能否预测产品在今后一段时期内的销售情况？关键取决于对模型的检验。,产品销售量的理论曲线与实测数据的误差能否通过检验,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、环境、生态 、经济 ,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计 ,表现特性,描述、优化、预报、决策 ,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性
12、和非线性,离散和连续,数学建模的基本方法和步骤,数学建模的基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映 内部机理的数量规律,将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型,二者结合,用机理分析建立模型结构,用测试分析确 定模型参数,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),实践,现实世界,数学世界,数学建模的一般步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个 比较清晰 的问题,模型假设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与 简化之间 作出折中,模型构成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用 简单的数 学工具,数学建模的一般步骤,模型求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析,模型分析,模型检验,与实际现象、数据比较，检验模型 的合理性、适用性,模型应用,怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,
