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1、1大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.题号一二三四五六七八总分满分205101510101515100得分一、填空（每小题 5 分，共 20 分）.(1)计算= .)cos1 (cos1lim 0xxxx(2)设在连续，且存在，则= .( )f x2x 2( )3lim2xf x x (2)f(3)若，则 .txxxttf2)11 (lim)( )(tf(4)已知的一个原函数为，则= .( )f x2ln x( )xfx dx（1）. (2) 3 . (3) . (4).21tet2) 12(Cxx2lnln2二、（5 分）计
2、算，其中dxdyxyD2.1010yxD，：解：=+ - 2 分dxdyxyD2dxdyyxxyD)(2 1:2 2 2:2)(xyDdxdyxy=+ -4 分dyyxdxx)(20210dyxydx x)(12102= -5 分.3011姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.得分 评阅人得分 评阅人2三、 （10 分）设，其中具有二阶)(sin2xfy f导数，求.22dxyd解：-3分),(cos)(222xfxf xdxdy-7分)(sin)(4)(cos)(4
3、)(cos)(2222222222 22 xfxfxxfxfxxfxfdxyd =-10分.)(sin)()(cos)(4)(cos)(222222222xfxfxfxfxxfxf 四、 （15 分）已知，求的值.3123ln0dxeeaxxa解：-3 分)23(232123ln0ln0xaxaxxededxee令，所以tex 23-6 分dttdxeeaaxx231ln02123=-7 分at23 12332 21=，-9 分 1)23(313a由，故=，-12 分3123ln0dxeeaxx 1)23(313a31即=0-13 分3)23(a亦即-14 分023 a所以 -15 分.23a
4、得分评阅人得分评阅人3五、 （10 分）求微分方程 满0xeyyx足条件 的特解.eyx1解：原方程可化为-2分xeyxyx 1这是一阶线性非齐次方程，代入公式得-4分 Cdxexeeydxxxdxx11=-5分 Cdxexeexx xlnln=-6分Cdxexx1=.-7分)(1Cexx所以原方程的通解是.-8 分)(1Cexyx再由条件，有，即，-9 分eyx1Cee0C因此，所求的特解是.-10 分.xeyx 六（10 分） 、若函数在内具有二阶导( )f x( , )a b数，且，其中123()()()f xf xf x，证明：在内至少有一点，使。123axxxb13( ,)x x(
5、)0f证：由于在内具有二阶导数，所以在上连续，)(xf),(ba)(xf,21xx在内可导，再根据题意，),(21xx)()(21xfxf由罗尔定理知至少存在一点，使=0；-3 分1),(21xx)(1f 同理，在上对函数使用罗尔定理得至少存在一点，23,x x)(xf),(322xx使=0；-6 分)(2f 得分评阅人得分评阅人姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密4对于函数，由已知条件知在，上连续，在（，）)(xf )(xf 1212内可导，且=0，由罗尔定理知至少存在一点（，） ，)(1f )(2f 12使，而，），故结论得证-10 分.0)( f12),(31xx七、 （15 分
6、）已知曲线和直线，xey xysin，围成平面图形.0x1xD（1）求平面图形的面积；DA （2）求绕轴旋转所成立体的体积. Dx解：（1）-2 分10(sin )xAex dx-4 分1 0(cos )xex-5 分cos1 2e（2）因为，-6 分baxdxxfV)(2所以-9 分dxxeVx x)sin(1022=-11 分1 20111sin2224xexx=-13 分 2sin41 21) 1(212e= .-15 分. 1)2sin21(212e八、 （15 分）设有连续的一阶),(zyxfu 偏导数，又函数 及分别)(xyy )(xzz 由下列两式确定：和，求.2 xyexydtttezxx 0sindu dx解：， （1）-4 分dxdz zf dxdy yf xf dxdu得分评阅人得分评阅人姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密5由两边对求导，得2 xyexyx=0，-7 分)()(dxdyxydxdyxyexy即 -9 分xy dxdy又由两边对求导，得dtttezxx 0sinx，-11 分)1 ()sin( dxdz zxzxex即 -13 分)sin()(1zxzxe dxdzx将其代入（1）式，得 .-15()1sin()xdufy fexzf dxxxyxzz分.
