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1、1第第 4 4 章章 多元函数微分学多元函数微分学4.2.14.2.1 二元函数的概念二元函数的概念 多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较一元函数是含有一个自变量的函数：)(xfy 。多元函数是含有多个自变量的函数，例如：二元函数：),(yxfz ，三元函数：),(zyxfu 等等例例 1 1 如果圆锥体底半径为r,高为h，则其体积v它是二元函数.其中，r和h是自变量，v是因变量（函数）.定义域： 0, 0),(hrhrD.例例 2 2 黑白电视：在t时刻屏幕上坐标为),(yx处的灰度z为：),(tyxzz ，它是三元函数.例例 3 3 在一个有火炉的房间里，在t时刻，点),(zyx处的温
2、度u是tzyx,的函数：),(tzyxuu ，称为温度分布函数，它是四元函数例例 4 4 求函数222yxaz的定义域解：0222yxa，定义域为222),(ayxyxD例例 5 5 求yyxz)ln( 的定义域解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有 00yxy0, 0),(yxyyxD4.3 4.4 偏导数偏导数二元函数),(yxfz 在点),(00yx处关于x的偏导数xyxfyxxfx),(),(lim00000（注意到：y取值不变，恒为0y）记作：),(00yxxz 或),(00yxfx.类似地，关于y的偏导数：2yyxfyyxfy),(),(lim00000例如：yxz3si
3、n2yxyxfyzy3cos3),(233cos3)0 , 1 ()0 , 1(2)0 , 1( yxfyz y求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x求偏导，一个是对y求偏导.对x求偏导时， 应把y看作常数.这样z就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对 y求偏导也类似. 注意：注意：一元函数)(xfy 在0x处可导，则在0x处连续.多元函数),(yxfz 在),(00yx可导和在),(00yx连续，二者不能互推.全微分全微分),(yxfz 称yyzxxzyyzxxzzddd为函数),(yxfz 在点),(yx处的全微分.例例 1 1: 求yxyxfz3sin),(2在点)0
4、, 1 (处关于x的偏导数.解： 将y看作常数，yxxz3sin2，03sin2)0 , 1( )0 , 1(yxxz例例 2:2: 求xyyxz2在点) 1, 1 ( 处的全微分.解： 112)2()1, 1(2 )1, 1(xyxyxz，2)1()1, 1(2)1, 1(xxyz因此，yxzd2dd4.5 复合函数与隐函数微分法复合函数与隐函数微分法 3复合函数求导法复合函数求导法设),(vufz ，而),(yxuu ，),(yxvv ，则 xv vz xu uz xz ， yv vz yu uz yz 例例 1:1: )sin(eyxzxy.解法 1：（利用复合求导公式）设xyu ，yx
5、v，则vzusinexv vz xu uz xz 1)cose ()sine (vyvuu)cos(e)sin(eyxyxyxyxyvzusine，xyu ，yxvyv vz yu uz yz 1)cose ()sine (vxvuu)cos(e)sin(eyxyxxxyxy解法 2：（直接求）xyxyxxxzxyxy)(sin(e)sin()e ( )cos(e)sin(eyxyxyxyxy同理， yz )cos(e)sin(eyxyxxxyxy例例 2:2:),(yxxyfz，求yz xz , 解:设yxvxyu,则),(vufz ，xv vz xu uz xz 1 vufyfvuff y
6、yv vz yu uz yz 1 vufxfvuff x例例 3 3 ),(2xyxfz ，求解: 设2,xyvxu,则),(vufz ，xv vz xu uz xz 21yffvu vufyf2 vfxy 24例例 4 4 )sin,3(2xxfz ，求dxdz注意：f是二元函数：),(vuf， xvxusin,32而z是关于vu,的二元函数，最终是关于x的一元函数xv vz xu uz xz dd dd dd xfxfvucos6 例例 5 5 )(32yxfz ，求yz xz , 注意：f是一元函数，而z是关于yx,的二元函数32),(yxuufz，32xyfxufxz ，223yxfy
7、ufyz 例例 6 6 方程)0(0),(222yayxyxF其图形为上半圆周，相应的函数为22)(xaxyy。显然，2222 ddxax xy yx另一种观点：0222ayx，0)(222axyx022:ddyyxx，yxy例例 7 7 设函数)(xyy 由方程02elnxyyyx所确定，求 )(xy解: 无法由已知方程解出)(xy但此)(xy应满足02e )()(ln)(xxyxyxyxxyyyyxyxeln:dd0)(yxyyexy由此解出:yxyxyxyxyyxyyyyeeeln23 ，4.6 二元函数的极值二元函数的极值 二元函数的极值二元函数的极值 多元函数极值的概念与一元函数极值
8、的概念类似若对),(00yx附近的),(yx均有),(),(00yxfyxf，则称),(00yx是),(yxf的极小点，),(00yxf是极小值若，则称是的极大点，是极大值5极大值点、极小值点统称为极值点极大值、极小值统称为极值 极值存在的必要条件极值存在的必要条件若一元函数)(xfy 在0x处可导，且0x是极值点，则0)(0 xf若二元函数),(yxfz 在),(00yx处可导，且),(00yx是极值点，则0),(00yxfx，0),(00yxfy二元函数最大值、最小值二元函数最大值、最小值若),(yxfz 在闭区域D内连续，则),(yxfz 在D内必有最大值和最小值若),(yxfz 在D内
9、可导，且在D内有唯一驻点),(00yx，则),(yxfz 在该驻点),(00yx处的值就是最大值或最小值下面我们总结一下求最大值最小值应用问题的步骤：步骤： （1）根据题意，建立函数关系； （2）求驻点； 如果驻点合理且惟一，则该驻点就是所求的应用问题的最大点（或最小点） 例例 2 2 用铁皮做一个体积为V的无盖长方体箱子，问其尺寸为多少时，才能用料最省？解：设长、宽分别为yx,，则高为xyV，表面积为xyVyxyVxxyS22xV yVxy22022xVySx ，022yVxSy解得32Vyx，此时高为223V xyV答：当长、宽、高分别为32V、32V、223V时，无盖箱子用料最省4.6.
10、34.6.3 条件极值条件极值 在例 2 中，给定体积V，求用料最省的无盖长方盒，即求S=xy+2xh+2yh在条件xyh=V 下的最小值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求函数),(zyxf在条件0),(zyx下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数法：令拉格朗日函数：),(),(zyxzyxfF求),(),(zyxzyxfF的（无条件）极值：6, 0, 0, 0 zF yF xF0),(zyxF解此方程组 用拉格朗日乘数法解例 2：求原题即为求yhxhxyS22在条件Vxyh 下的最小值令)(22VxyhyhxhxyL, 022, 02, 02xyyxhLxhhxyLyhhyxLVxyh 由此可得： xyyx xhhx yhhy2222解得hyx2由此可得： xyyx xhhx yhhy2222解得hyx2再由Vxyh ，解得322Vhyx
