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1、矩 阵 分 析,东北大学信息科学与工程学院 石海彬,第二章 内积空间,线性空间 或 向量空间,向量的加法 向量与数域中数的数量乘法,向量的长度 向量之间的夹角 需要考虑,引入新的概念 内积（某种乘法）内积空间,目的：进一步研究线性空间和线性变换,第二章 内积空间,1 内积空间的概念 2 正交基及子空间的正交关系 3 内积空间的同构 4 正交变换 5 点到子空间的距离与最小二乘法 6 复内积空间（酉空间） 7 正规矩阵 8 厄米特二次型 9 力学系统的小振动,第二章 内积空间,1. 内积空间的概念,内积的定义,此时的V就成为（实）内积空间,1. 内积空间的概念,第二章 内积空间,1. 内积空间的
2、概念,内积空间之例,例1 n维线性空间Rn,此称为欧几里德空间（欧氏空间）,第二章 内积空间,1. 内积空间的概念,内积空间之例,例2 n2维线性空间Rnn,第二章 内积空间,1. 内积空间的概念,内积的性质：,第条性质称为柯西许瓦兹不等式,第二章 内积空间,1. 内积空间的概念,向量长度的定义,柯许不等式的另一写法,向量之间的夹角,向量垂直 向量正交 90度角,第二章 内积空间,1. 内积空间的概念,第二章 内积空间,2. 正交基及子空间的正交关系,2. 正交基及子空间的正交关系,任一n维欧氏空间都存在正交基,第二章 内积空间,2. 正交基及子空间的正交关系,第二章 内积空间,2. 正交基及
3、子空间的正交关系,n维欧氏空间的任一子空间都有唯一的正交补空间。,第二章 内积空间,3. 正交基及子空间的正交关系,3. 内积空间的同构,所有n维欧氏空间都同构,第二章 内积空间,4. 正交变换,4. 正交变换,保持内积不变,向量长度不变,第二章 内积空间,4. 正交变换,第二章 内积空间,5. 点到子空间的距离与最小二乘法,5. 点到子空间的距离与最小二乘法,向量之间的距离,第二章 内积空间,5. 点到子空间的距离与最小二乘法,5. 点到子空间的距离与最小二乘法,向量到子空间的距离,欧氏空间中的一个向量和一个子空间中的各个向量都有一个距离，最短的那个就定义为,x,W,V,从而，向量到子空间的
4、距离为垂直向量的距离,第二章 内积空间,5. 点到子空间的距离与最小二乘法,用来解决最小二乘法问题,书52页之例,第二章 内积空间,6. 复内积空间（酉空间）,6. 复内积空间（酉空间）,书中53页之注,第二章 内积空间,6. 复内积空间（酉空间）,第二章 内积空间,6. 复内积空间（酉空间）,第二章 内积空间,6. 复内积空间（酉空间）,酉变换 保持内积不变,第二章 内积空间,6. 复内积空间（酉空间）,第二章 内积空间,7. 正规矩阵,7. 正规矩阵,对角矩阵 实对称矩阵 实反对称矩阵 厄米特矩阵 反厄米特矩阵 正交矩阵 酉矩阵,第二章 内积空间,7. 正规矩阵,书57-58页之例,第二章 内积空间,8. 厄米特二次型,8. 厄米特二次型,第二章 内积空间,8. 厄米特二次型,（书66页之例）,第二章 内积空间,8. 厄米特二次型,谢谢,Thank You!,
