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1、习题习题 15 15-3 求习题 15-3 各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。解 (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：210coscos4aIB对于导线 1：，因此0122aIB 40 1对于导线 2：，因此2102BaIBBB 40 21p方向垂直纸面向外。 (b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：210coscos4aIB对于导线 1：，因此，方向垂直纸面向内。0122rI aIB 4400 1对于导线 2：，因此，方向垂直纸面向内。212rI aIB 4400 2半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的 圆形导线在圆
2、心处产生的磁感应强度的一半，即，方向垂直纸面向内。rI rIB422100 3所以，方向垂直纸面向内。rI rI rI rI rIBBBB4244400000 321p (c) P 点到三角形每条边的距离都是ad63，o301o1502每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是 aI dIB 23150cos30cos40000 0故 P 点总的磁感应强度大小为习题 15-3 图I12 PrrI(a)I1a 2I Ia(b) (c)PPaIBB 2930 0方向垂直纸面向内。 15-4 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕的平面线圈，通
3、有电流 I，方向如习题 15-4 图所示。求中心 O 处的磁感应强度。解 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 I NI 圆盘，设单位径向长度上线圈匝数为 nrRNn建立如图坐标，取一半径为 x 厚度为 dx 的 圆环，其等效电流为:xrRNIxIdndd)(2d 2dd00 0rRxxNI xIBrR rRNI rRxxNIBBRrNIln)(2)(2dd00 00方向垂直纸面向外。15-5电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I=5.0A，圆筒半径 R=1.0102m 如习题 15-5 图所示。求轴线上一点的磁感应强度。解 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线
4、， 取一微元 dl则IRlIdd 则在 O 点所产生的磁场为l d2200 2d 2ddRlI RIB 又因，ddRl 所以，RI RIB200 2d 2dd ，cosddxBB sinddyBB 半圆筒对 O 点产生的磁场为：根据对称性，0xxdBBRIBB20 yyd所以只有方向分量，即，沿的负方向。ByRIBB20 yy15-6 矩形截面的螺绕环，尺寸如习题 15-6 图所示，均匀密绕共 N 匝，通以电流 I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为210ln2DDNIh Orx煤 RyxdldB 证明 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元xhSdd 以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r
5、，2212DrDNIrB02dlBrNIB 20SBdd所以210220ln2d2dd12DDhNIrhrNISBDD 15-7长直导线与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点 a，另一直导线 bb沿半径方向与圆环接于点aa b，如习题 15-7 图所示。现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。(1)求圆环中心点 O 的 B；(2)B 沿闭合路径 L 的环流等于什么?lB dL解 (1)43210BBBBB其中: 04BRIB 40 1,RIBRIB231,23230 320 22332 ll II故与大小相等,方向相反,所以2B3B032 BB因而,方向垂直纸面向外.RIBB 40 1
6、0(2)由安培环路定理,有:3)32(d00i0IIII LlB15-8如习题 15-8 图所示，半径为 R 的 1/4 圆弧线圈通有电流 I2，置于电流为 I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流 I1恰过圆的直径，求圆弧受到长直线电流 I1的磁场力。解：在 I2上任取以电流元 I2dl，与 x 轴的夹角为，则电流元所 受到的磁力为：0120 ORabab12 34习题 15-8 图OI1I2X45 45Y习题 15-6 图0 1 2 20 1 20 1 2dd2d2cosd2 cosI I BdFI B llx I I BRR I I B 方向沿 O 点与电流元的连线。 根据对称性可知，Fy
7、=00 1 2440 1 2cosd2 cos4xI I BFFdFI I B因此所受的磁力为，沿 x 轴的正方向。0 1 2 4I I B15-9磁场中某点处的磁感应强度，一电子以速度通过该点。0.400.20 TBij6610.5 101.0 10m svij求作用在该电子上的磁场力。解 由洛仑兹力公式,有N10810 02 . 04 . 000 . 15 . 0106 . 114619kkji BvF q15-10在一个圆柱磁铁 N 极正上方，水平放置一半径为 R 的导线圆环，如习题 15-10 图所示，其中通有顺时针方向(俯视)的电流 I。在导线处的磁感应强度 B 的方向都与竖直方向成
8、角。求导线环受的磁场力。解 圆环上每个电流元受力为BlF ddI将分解为 z 分量和径向分量：BrzBBB，coszBB sinrBB 所以 rzrzddddBlBlBBlFIIIrzddBlF IzrddBlF I对于圆环 0drF圆环所受合力为，方向沿 z 轴正向。sin2dsind20rzRIBRIBlIBFF15-11如习题 15-11 图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为 a 和 b，导体内通有电流 I，且电流在横截面上均匀分布。求证导体内部(a，说明载流平面的磁场的方向与所放入的均2B1BB匀磁场的方向在平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说0B明平面上电流方向是垂直于纸
9、面向内。设面电流密度为 j。则jBBBB000121jBBBB000221由此二式解得 ， 21021BBB12 01BBj在载流平面上沿电流方向取长为 h、宽为 dl 的条形面积，面积 dS=hdl，面积上电流 dI=jdl，此电流受到的磁力大小为 SBjlBjhIBhFdddd载流平面单位面积所受磁力大小为 2 12 2 01212 021 21 ddBBBBBBBjSF方向为垂直于平面向左。15-16电流为 I2的等边三角形载流线圈与无限长直线电流 I1共面，如习题 15-16 图所示。求：(1)载流线圈所受到的总的磁场力；(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点 c 并垂直于纸面方向的直线
10、为轴)。 解 ab 边到长直导线的距离为 d，电流在 ab 边上的磁场为1IdIB 210方向垂直纸面向内。此磁场对 ab 边的作用力为0 1 2 22abI I lFI Bld 方向向左。在 ac 边上任取一,设到的距离为，则在处产生的磁场为， l dl d1Ix1Il dxIB 210受到的磁力，又因为l dBlFdd2IBl d所以，0210 230cosd 2ddx xIIlBIF所以，方向如图所示。3 0 1 20 1 22 acd3ln(1)233dldI II IxlFxd同理，可求得，方向如图所示。acbcFF则线圈受到的合力为：，0yF )231ln(31 2210 bcxa
11、cxabxdl dlIIFFFF因此线圈所受的磁场力大小为，方向沿 x 轴负向。 )231ln(31 2210 dl dlII （2）因为 的方向垂直直面向外nPSIddm n所以BP/dm 又因为，所以，所以BPM mdd0dM0M15-17半径为 a、线电荷密度为 (常量)的半圆，以角速度绕轴 OO匀速旋转，如习题 15-17 图所示。求：(1)在点 O 产生的磁感应强度 B；(2)旋转的带电半圆的磁矩。mP解 （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量dddalq旋转后形成电流元 d2d2ddaqqnI由圆环得 23222 0 2xRIRB sinaR cosax dsin4d2sincoss
12、in2dsind20 322 0 23222222 0 IaaaaIaB方向向上8dsin4d0020BB（2）因为， nmSIP d2sindsinSdId23 22 maIaP，方向向上。4dsin2d2sin3002323maaaP15-18有一均匀带电细直棒 AB，长为 b，线电荷密度为。此棒绕垂直于纸面的轴 O 以匀角速度转动，转动过程中端 A 与轴 O 的距离a 保持不变，如习题 15-18 图所示。求：(1)点 O 的磁感应强度；(2)转B动棒的磁矩； (3)若 ab，再求和。mPBmP解 (1)均匀带电直棒 AB 绕 O 轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元,等效
13、电流为：rdqdrqId22dd 它在 O 点的磁感应强度00ddd24IrBrr （，方向垂直纸面向里）00 0ddln44a barabBra B0(2)rrIrpd21dd22 mbaarrppd21d2 mm（，方向垂直纸面向里）6/ )(33aba0(3)若 ab，则有： ，ab abaln00()44qbBaa 与带电粒子情况相同qb),/31 ()( ,33abababa322 m113()622bpab aq aa 与点电荷的磁矩相同OABab煤 Br（，方向垂直纸面向里）015-19. 一平面圆盘，半径为 R，表面面电荷密度为。设圆盘绕其中心轴转动的角速度为，匀强磁场B 的方
14、向与转轴的夹角为，试求圆盘所受的力矩。解：在半径为 r 处取宽度为 dr 的圆环，其等效电流为： ddIr r其磁矩为2 mddr rrnPeBpM mdd2dsindMr rr B3401sin dsin4RMr BrBR15-20有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为 R2和 R1，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为 a(R2a+ R12 R1)，如习题 15-20 图所示。电流 I 沿轴向流动，在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。解 根据叠加原理，此系统可看作由半径为，其上电流2R密度为的实心导体，与半径为的，电流2 12 2RRIj1R密度为-j 的实心导体所构成的。设 j 沿 z 轴正方向，根据安培环路定理，半径为电2R流均匀分布的导体，在 O 点产生的磁场为
