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1、第二十四章 相似三角形的判定复习,方 伟 良,三角形相似的判定方法有哪些？,方法1：通过定义,方法5：两组角分别对应相等，两个三角形相似,方法2：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所得三角形与原三角形相似,方法3：三组对应边的比相等，两个三角形相似,方法4：两组对应边比相等且夹角相等， 两个三角形相似,定理3：两角对应相等，两三角形相似。,定理1：三组对应边的比相等，两三角形相似。,相似三角形的判定定理：,直角三角形相似的判定:,直角边和斜边的比相等，两直角三角形相似。,常见 图形,定理应用,如图，ACBADC90，AC ，AD2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？,要使这两个直
2、角三角形相似，有两种情况： （1）当RtABCRtACD时，有,（2）当RtACBRtCDA时，有,故当AB的长为3或,时，这两个直角三角形相似。,如图:ABC=CDB=90, AC=a, BC=b, 当BD= 时， ABC与CDB相似.,变式练,如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，两三角形相似,基本图形应用 （1）,已知：如图，ABC中，P是AB边上的一点，连结CP满足什么条件时 ACPABC?,解:A= A，当1= ACB （或2= B）时， ACPABC A= A，当AC:APAB:AC时， ACPABC,答：当1= ACB 或2= B 或
3、AC:APAB:AC时, ACPABC.,在ABC中，AB=9，AC=6， D是边AB上一点 且AD=2，E是AC 上的点 ，则AE= 时， ADE与ABC相似？,或3,ADEABC?,A,B,C,D,A,B,C,D,练习,E,E,已知，ABC中，D为AB上一点，画一条过点D的直线(不与AB重合),交AC于E，使所得三角形与原三角形相似，这样的直线最多能画出多少条?,在ABC中，ABAC，过AB上一点D作直线DE （不与AB重合），交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，这样的直线最多能画出多少条?画出满足条件的图形.,E,E,E,E,在直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），C（0，3
4、）。过点作直线交x轴于点，使以、为顶点的三角形与AOB相似，这样的直线最多可以作（ ）条A .2 B .3 C . 4 D. 6,A,B,C,D,D,O,D,D,动点与相似三角形,在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形， OABC, OA=7, BC=3, COA=60,点P为线段OA上的一个动点，点P不与O、A重合，连结CP. （1）求点B的坐标。 （2）点D为AB上一点， 且AD:BD=3:5,连结PD, 在OA上是否存在这样的 点P,使CPD= BAO? 若存在，求出直线PB的 解析式，若不存在，请说明理由。,P,D,2)提示，AD:BD=3：5， A B=OC=4AD=3/2 又
5、OPCADP 设OP=X,由X:AD=OC:AP 列出方程，解得X=1或6,如图：在ABC中， C= 90,BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问： 经过多少秒时CPQ CBA;, 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与ABC相似？,提示 只有一种情况，t=12/5 除上面一种外还有一种情况，t=32/11 (0t4),基本图形应用 （2）,将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，
6、把它们一 一写出来.,解：有相似三角形，它们是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA（ ADE BAE CDA）,什么方法？,已知：如图，PQR是等边三角形，APB = 120 ,求证：（1）PAQBPR,（2）,如图点C、D在线段AB上，PCD是等边三角形,（2）当ACPPDB时，求APB的度数,（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，ACPPDB,F,如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE 求证：2ED DM=AD CD。,分析：,如图，已知EM AM，交AC于D，CE=DE 求证：2ED DM=AD CD。,G,分析：,综合运用,已知如图，在ABC中，AD是BAC
7、的平分线，EFAD于点F，AFFD。 求证：DEBECE,A,B,C,D,F,E,解：连接AE，EF垂直平分AD AE=DE。ADE=DAE。 ADE=B+BAD， DAE=CAD+CAE。 AD是BAC的角平分线，BAD=CAD。 B=CAE。 又AEB=AEC(公共角）。 ABECAE，AE/CE=BE/AE，AE=BE CE。 AE=DE，DE=BECE。,如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3 BFBP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与ABP相似,则BM=,提示,由条件：ABP=CBM， (1)M1B：BP=BC：AB， 即M1B：
8、3=4:4,M1B=3（此时全等） (2)M2B:AB=BC:BP, 即M2B：4=4：3，M2B=16/3. MB有二解：3或16/3.,正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直. （1）证明：RtABMRtMCN； （2）当M点运动到什么位置时RtABMRtAMN，求此时x的值.,提示 (2)已知了这两个三角形中相等的对应角是ABM和AMN,如果要想使RTABMRTAMN，那么两组直角边就应该对应成比例，即AM/MN=AB/BM，根据（1）的相似三角形可得出AM/MN=AB/MC,因此BM=MC，M是BC的中点，即X=2,已知，如
9、图，D为ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在ABC作CBE=ABD，BCE=BAD，BE、CE交于E，连接DE。求证：DBEABC,分析：由已知条件ABD=CBE， DBC公用.所以DBE=ABC， 要证的DBE和ABC， 有一对角相等，要证两个 三角形相似，或者再找一 对角相等，或者找夹这个 角的两对应边的比相等。 从已知条件中可看到 CBEABD，这样既有相等的角，又有对应边的比相等，问题就可以得到解决。,证明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BAD，CBEABD. AB:BC=BD:BE AB:BD=BC:BE . 又CBE=ABD，CBE+DBC=ABD+DBC.即
10、DBE=ABCDBEABC 点评：本题应用综合分析法，既用到了相似 三角形的性质，又用到了相似三角形的判定， 要求同学们对四种判定方法和 基本图形要熟 练掌握。,已知，在ABC中，BAC=90，ADBC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F, 求证：AB:AC=DF:AF,分析： 欲证AB:AC=DF:AF，虽然这四条线段可分配于ABC和DFA中，但这两个三角形明显不相似，且图中又没有相等的线段来代换，故需借助中间比牵线搭桥。 易证RTBACRTBDA，得到AB:AC=BD:AD, 于是只需证 DF:AF=BD:AD 进而证出DFBAFD 即可,证明：在RTABC和RTDBA中，BAD=C,ABC=DBA, RTABCRTDBA AB:AC=BD:AD 又在RTADC中，E是AC的中点，DE=CE C=EDC=FDB C=BAD BAD=FDB F=F DFBAFD DF:AF=BD:AD AB:AC=DF:AF,再见,
