《同济大学高等数学第六版第五章课后习题答案(包括5.1-5.2-5.3-5.4-总习题五)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高等数学第六版第五章课后习题答案(包括5.1-5.2-5.3-5.4-总习题五)（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题习题 5-1 1 利用定积分定义计算由抛物线 yx21 两直线 xa、xb(ba)及横轴所围成的图形的面积 解 第一步 在区间a b内插入 n1 个分点(i1 inabaxi2 n1) 把区间a b分成 n 个长度相等的小区间 各个小区间的长度为 (i1 2 n) nabxi第二步 在第 i 个小区间xi1 xi (i1 2 n)上取右端点 作和inabaxiinabinabaxfSniiinin 1)()(211 niinabinabaanab12 22 2 1)()(26) 12)(1()( 2) 1()(2)(22 2nnnn nabnn nabananab 16) 12)(1()(
2、) 1)()(22 2nnnab nnabaaab第三步 令maxx1 x2 xn 取极限得所求面nab积 niiibaxfdxxfS10)(lim)( 16) 12)(1()() 1)()(lim22 2nnnab nnabaaabnababababaaab)(31 1)(31)()(33222 利用定积分定义计算下列积分 (1)(ab) xdxba解 取分点为(i1 2 n1) 则(i1 2 inabaxinabxi n) 在第 i 个小区间上取右端点(i1 2 n) inabaxii于是 ninniiinbanabinabaxxdx11)(limlim )(212) 1()()(lim)
3、(22 22 2abnnnababaabn(2) dxex10解 取分点为(i1 2 n1) 则(i1 2 n) 在nixinxi1第 i 个小区间上取右端点(i1 2 n) 于是nixii) (1lim1lim21110nn nn nnininxeeennedxe 1 )1 (1 lim 1)(1 1lim11111 e eneeeee nnnnnnnnn3 利用定积分的几何意义说明下列等式 (1) 1210xdx解 表示由直线 y2x、x 轴及直线 x1 所围成的面积 102xdx 显然面积为 1 (2) 41102dxx解 表示由曲线、x 轴及 y 轴所围成的1021dxx21 xy四分
4、之一圆的面积 即圆 x2y21 的面积的 41 414112102dxx(3) 0sinxdx解 由于 ysin x 为奇函数 在关于原点的对称区间 上 与 x 轴所夹的面积的代数和为零 即 0sinxdx(4) 2022cos2cosxdxxdx解 表示由曲线 ycos x 与 x 轴上一段所围22cosxdx2,2成的图形的面积 因为 cos x 为偶函数 所以此图形关于 y 轴对称 因此图形面积的一半为 即20cos xdx 2022cos2cosxdxxdx4 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力 已知闸门上 水的压强 p(单位面积上的压力大小)是水深 h 的函数 且有 p98h (k
5、N/m2) 若闸门高 H3m 宽 L2m 求水面与闸门顶相 齐时闸门所受的水压力 P 解 建立坐标系如图 用分点(i1 2 n1)将区间0 inHxiH分为 n 分个小区间 各小区间的长为(i1 2 n) nHxi在第 i 个小区间xi1 xi上 闸门相应部分所受的水压力近似 为 Pi98xiLxi 闸门所受的水压力为 ninniiinnHinHLxLxP 11lim8 . 98 . 9lim 228 . 42) 1(lim8 . 9HLnnnHLn将 L2 H3 代入上式得 P882(千牛) 5 证明定积分性质(1) babadxxfkdxxkf)()(证明 niiibaxkfdxxkf 1
6、0)(lim)( baniiidxxfkxfk)()(lim 10(2) abdxdxbaba1证明 ababxxdxniiniiba)(limlim1lim1010106 估计下列各积分的值 (1) 412) 1(dxx解 因为当 1x4 时 2x2117 所以 ) 14(17) 1() 14(2412dxx即 51) 1(6412dxx(2) 4542)sin1 (dxx解 因为当时 11sin2x2 所以 45 4x )445(2)sin1 ()445(14542dxx即 2)sin1 (4542dxx(3) 331arctanxdxx解 先求函数 f(x)x arctan x 在区间上
7、的最大值 M3 ,31与最小值 m 因为当时 f (x)0 所以函21arctan)(xxxxf331x数 f(x)xarctan x 在区间上单调增加 于是3 ,31 3631arctan31)31( fm 33arctan3)3( fM因此 )313(3arctan)313(36331xdxx即 32arctan9331xdxx(4) 022dxexx解 先求函数在区间0 2上的最大值 M 与最小值xxexf2)( m 驻点为 ) 12()(2xexfxx 21x比较 f(0)1 f(2)e2 得 Me2 于是41)21(ef41em ) 02() 02(220412edxeexx即 41
8、022222edxdxeexx7 设 f(x)及 g(x)在a b上连续 证明(1)若在a b上 f(x)0 且 则在a b上 f(x)0 0)(badxxf证明 假如 则必有 f(x)0 根据 f(x)在a b上的连续0/ )(xf 性 在a b上存在一点 x0 使 f(x0)0 且 f(x0)为 f(x)在a b上的 最大值 再由连续性 存在c da b 且 x0c d 使当 xc d时 于是2)()(0xfxfbddccabadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()( 0)(2)()(0cdxfdxxfdc这与条件相矛盾 因此在a b上 f(x)0 0)(badxxf(2)若在a
9、b上 f(x)0 且 则 0/ )(xf0)(badxxf证明 证法一 因为 f(x)在a b上连续 所以在a b上存在一 点 x0 使 f(x0)0 且 f(x0)为 f(x)在a b上的最大值 再由连续性 存在c da b 且 x0c d 使当 xc d时 于是2)()(0xfxfbadccdxfdxxfdxxf0)(2)()()(0证法二 因为 f(x)0 所以 假如不成0)(badxxf0)(badxxf立 则只有 0)(badxxf根据结论(1) f(x)0 矛盾 因此 0)(badxxf(3)若在a b上 f(x)g(x) 且 则在a bbabadxxgdxxf)()(上 f(x)
10、g(x) 证明 令 F(x)g(x)f(x) 则在a b上 F(x)0 且 0)()()()()(babababadxxfdxxgdxxfxgdxxF由结论(1) 在a b上 F(x)0 即 f(x)g(x)4 根据定积分的性质及第 7 题的结论 说明下列积分哪一 个的值较大 (1)还是？102dxx103dxx解 因为当 0x1 时 x2x3 所以 103102dxxdxx又当 0x1 时 x2x3 所以 103102dxxdxx(2)还是？212dxx213dxx解 因为当 1x2 时 x2x3 所以 213212dxxdxx又因为当 1x2 时 x2x3 所以213212dxxdxx(3
11、)还是？21lnxdx212)(lndxx解 因为当 1x2 时 0ln x1 ln x(ln x)2 所以21221)(lnlndxxxdx又因为当 1x2 时 0ln x1 ln x(ln x)2 所以21221)(lnlndxxxdx(4)还是？10xdx10)1ln(dxx解 因为当 0x1 时 xln(1x) 所以 1010)1ln(dxxxdx又因为当 0x1 时 xln(1x) 所以1010)1ln(dxxxdx(5)还是？ 10dxex10)1 (dxx解 设 f(x)ex1x 则当 0x1 时 f (x) ex10 f(x)ex1x 是单调增加的 因此当 0x1 时 f(x)
12、f(0)0 即 ex1x 所以1010)1 (dxxdxex又因为当 0x1 时 ex1x 所以 1010)1 (dxxdxex习题 521 试求函数当 x0 及时的导数 xtdty 0sin4x解 当 x0 时 ysin00 xtdtdxdyxsinsin 0当时 4x22 4siny2 求由参数表示式 所给定的函数tudux 0sintuduy 0cosy 对 x 的导数 解 x(t)sin t y(t)cos t ttxty dxdycos)()(3 求由所决定的隐函数 y 对 x 的导数 xyttdtdte 000cosdxdy解 方程两对 x 求导得 0cos xyey于是 yex dxdycos4 当 x 为何值时 函数有极值？xtdttexI 02)(解 令 I (x)0 得 x0 2)(xxexI因为当 x0 时 I (x)0 当 x0 时 I (x)0 所以 x0 是函数 I(x)的极小值点 5 计算下列各导数 (1) 2021xdttdxd解 dxdudttduddttdxduuxx02021122令 421221xxxu(2) 32411xxdttdxd解 32320404411 11 11
