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1、5-7.位置原理与数的进制 教师版 page 1 of 85-75-7 位置原理与数的进位置原理与数的进制制教学目标教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学 习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与 实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。知识点拨知识点拨一、位值原理一、位值原理位位值值原理的定原理的定义义： ：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每 一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如
2、“2”,写在个位上，就表示 2 个一，写在百位上，就 表示 2 个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。位位值值原理的表达形式：原理的表达形式：以六位数为例：a100000+b10000+c1000+d100+e10+f。abcdef 二、数的进制二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于 1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 二二进进制：制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字 0 和 1。二进 制的计数单位分别是 1、21、22、23、，二进制数也可
3、以写做展开式的形式，例如 100110 在二进制中表示 为：(100110)2=125+024+023+122+121+020。 二二进进制的运算法制的运算法则则： ：“满二进一”、 “借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：注意：对于任意自然数 n,我们有 n0=1。 n 进进制：制：n 进制的运算法则是“逢 n 进一，借一当 n”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减； 同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 进进制制间间的的转换转换： ：如右图所示。十进制二进制十六进制八进制5-7.位置原理与数的进制 教师版 page 2 of 8例题
4、精讲例题精讲模块一、位置原理模块一、位置原理【例 1】 某三位数某三位数和它的反序数和它的反序数的差被的差被 9999 除，商等于除，商等于_与与_的差；的差；abccba 【 【 【本题属于基础型题型。我们不妨设 abc。(-）99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)99=(99a-99c)99=a-c；abc cba【 【 【与与的差被的差被 9 9 除，商等于除，商等于_与与_的差；的差；abba【 【 【(-）9=(10a+b)-(10b+a)9=(9a-9b)9=a-b；ab ba【 【 【与与的和被的和被 1111 除，商等于除，商等于_与与_的和。的和。abba【
5、 【 【(+）11=(10a+b)+(10b+a)11=(11a+11b)11=a+b。abba【例 2】 ( (美国小学数学奥林匹克美国小学数学奥林匹克) )把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位 数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是 4545，试求这样的两位数中最大的是多少？，试求这样的两位数中最大的是多少？【 【 【设原来的两位数为，交换后的新的两位数为，根据题意，abba ，原两位数最大时，十位数字至多为 9，即(10)(10)9()45abbaabbaab
6、5ab ，原来的两位数中最大的是 949a 4b 【 【 【将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数( (这个数也叫原数的反序数这个数也叫原数的反序数) )，新数比，新数比 原数大原数大 88028802求原来的四位数求原来的四位数【 【 【设原数为，则新数为，abcddcba (100010010)(100010010)999()90()dcbaabcddcbaabcddacb根据题意，有，999()90()8802dacb111 ()10()97888890dacb 推知，得到，原数为 10998da9cb9d 1a 9c 0b
7、【 【 【如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然 数为数为“巧数巧数” 。例如，。例如，9999 就是一个巧数，因为就是一个巧数，因为 9999(9(99)9)9999。可以证明，所有的巧数都是。可以证明，所有的巧数都是 两位数。请你写出所有的巧数。两位数。请你写出所有的巧数。 【 【 【设这个巧数为，则有 ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以 b+1=10，b=9。ab 满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。【例 3】
8、 ( (第五届希望杯培训试题第五届希望杯培训试题) )有有 3 3 个不同的数字，用它们组成个不同的数字，用它们组成 6 6 个不同的三位数，如果这个不同的三位数，如果这 6 6 个三个三 位数的和是位数的和是 15541554，那么这，那么这 3 3 个数字分别是多少？个数字分别是多少？【 【 【设这六个不同的三位数为，,abc acb bac bca cab cba因为，它们的和是：，所以10010abcabc10010acbacb222()1554abc ，由于这三个数字互不相同且均不为 0，所以这三个数中较小的两个数至15542227abc少为 1，2，而，所以最大的数最大为 4；又，
9、所以最大的数大于 ，所以7(12)4123673 最大的数为 4，其他两数分别是 1，2【 【 【( (迎春杯决赛迎春杯决赛) )有三个数字能组成有三个数字能组成 6 6 个不同的三位数，这个不同的三位数，这 6 6 个三位数的和是个三位数的和是 28862886，求所有这样的，求所有这样的 6 6 个三位数中最小的三位数个三位数中最小的三位数 【 【 【设三个数字分别为 a、b、c，那么 6 个不同的三位数的和为：2() 1002() 102()222()abcacbbacbcacabcbaabcabcabcabc 所以，最小的三位数的百位数应为 1，十位数应尽可能地小，由于十位288622
10、213abc 数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为 9，此时十位数为，所以所13 193 有这样的 6 个三位数中最小的三位数为139 【 【 【用用 1 1，9 9，7 7 三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？ 【 【 【卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第 3 题的结果可知，1，9，7 可组成的六个不同的三位数5-7.位置原理与数的进制 教师版 page 3 of 8之和是（197）222；同理，作为卡片“6”，1，6，7 可组成的六个数之和是（167）222。这
11、 12 个数的平均值是：（197）（167）22212573.5。【 【 【从从 1 19 9 九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是 33303330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？ 【 【 【设这三个数字分别为 a、b、c。由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三 位数之和为 222（abc）3330，推知 abc15。所以，当 a、b、c 取 1、5、9 时，它们组成的 三位数最小为 159，
12、最大为 951。【 【 【a a，b b，c c 分别是分别是中不同的数码，用中不同的数码，用 a a，b b，c c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数共可组成六个三位数，如果其中五个三位数09: 之和是之和是 22342234，那么另一个三位数是几？，那么另一个三位数是几？ 【 【 【由，组成的六个数的和是因为，所以abc222()abc2234222 1010abc 若，则所求数为，但，不合题意11abc222 1122342082081011 若，则所求数为，但，不合题意12abc222 122234430430712 若，则所求数为，符合题意13abc222 1322346526
13、5213 若，则所求数为，但，不合题意14abc222 1422348748741914 若，则所求数，但所求数为三位数，不合题意15abc222 1522341096 所以，只有时符合题意，所求的三位数为 65213abc【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入在两位自然数的十位与个位中间插入 0 09 9 中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些 两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的 9 9 倍。求出所有这样的三位数。倍。求出所有这样的三位数。【 【 【因为原两位
14、数与得到的三位数之和是原两位数的 10 倍，所以原两位数的个位数只能是 0 或 5。如 果个位数是 0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的 10 倍，所以个位数是 5。设原两位数是，则 b=5，变成的三位数为 ab5，由题意有 100a10b5（10a5）9，化简得ab ab4。变成的三位数只能是 405，315，225，135。【 【 【一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程 碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间 多一个多一个 0 0 的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数
