轴对称培优精华

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1、 1 / 4轴对称轴对称 知识要点 一、轴对称和轴对称图形 1、有一个图形沿着某一条直线折叠折叠，如果它能够与另一个图形重合重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称对称，这这 条直线叫做对称轴条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点对应点，叫做对称点对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称两个图形关于直线对称也叫做轴对称。 2、轴对称图形：如果一个图一个图形沿一条直线折叠一条直线折叠，直线两旁的部分两旁的部分能够互相重合重合，这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形。这 条直线直线就是它的对称轴对称轴。 （对称轴必须是直线对称轴必须是直线） 3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 4、轴对称

2、图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴对称轴是任何一对对应一对对应点所连线段的垂直平分线所连线段的垂直平分线。 类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段一对对应点的线段被对称轴对称轴 垂直平分垂直平分。 轴对称图形上对应线段相等对应线段相等、对应角相等对应角相等。 5画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。二、轴对称与轴对称图形的区别和联系 区别：轴对称轴对称是指两个图形两个图形之间的形状形状与位置位置关系，成轴对称轴对称的两个图形是全等形

3、全等形； 轴对称图形轴对称图形是指一个图形一个图形，把一个轴对称图形一个轴对称图形沿对称轴对称轴分成两个图形两个图形，这两个图形是全等形两个图形是全等形，并且成轴对成轴对 称称。 联系：1、都是折叠重合 2、如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。 三、线段的垂直平分线 1、经过线段的中点线段的中点并且垂直垂直于这条线段线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线线段的垂直平分线（或线段的中垂线线段的中垂线） 。 2、性质：线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上的点点与这条线段两个端点线段两个端点的距离相等距离相等； 判定：与一条线段两个端点距离相等两个端点距离相等的点点在这

4、条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上。 （证明时必须有两个点）必须有两个点）因此线段的垂直平分线线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合与线段两个端点距离相等的所有点的集合。 四、用坐标表示轴对称 1、点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（-x，y） ； 2、点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（x，-y） ； 关于谁对称谁不变，关于原点都相反 3、点（x， y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y） 。 五、关于坐标轴夹角平分线坐标轴夹角平分线对称 点 P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线 yx 对称的点的坐标是（y，x） 点 P（x，y）关于第二、四象

5、限坐标轴夹角平分线 y x 对称的点的坐标是（y，x） 六、关于平行于坐标轴的直线平行于坐标轴的直线对称 点 P（x，y）关于直线 xm 对称的点的坐标是（2mx，y） ； 点 P（x，y）关于直线 yn 对称的点的坐标是（x，2ny） ； 七、等腰三角形 等腰三角形的性质性质： 性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ） 性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 （三线合一） 等腰三角形的判定判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ） 八、等边三角形 定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊

6、的等腰三角形。 等边三角形的性质性质： 性质 1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60。 性质 2：等边三角形的三条边都相等。 等腰三角形的判定判定： 判定 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定 2：有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形。 在直角三角形直角三角形中， 3030 角所对的直角边对的直角边等于斜边的一半斜边的一半。 九、其他结论2 / 4（1）三角形三个内角的平分线角的平分线交于一点点，这一点到三边的距离相等三边的距离相等。 （交点称为三角形的内心内心） （2）三角形三边的垂直平分线垂直平分线交于一点点，这一点到三个顶点的距离相等三个顶点的距离相等。（

7、交点称为三角形的外心外心） 作图题 1、 如图：已知AOB 和 C、D 两点，求作一点 P，使 PC=PD，且 P 到AOB 两边的距离相等。2、已知：A、B 两点在直线 l 的同侧，试分别画出符合条件的点 M。 （1）如图，在 l 上求作一点 M，使得AMBM最小； 作法：（2）如图，在 l 上求作一点 M，使得AMBM最大； 作法：（3）如图，在 l 上求作一点 M，使得 AMBM 最小。 作法：练习题1、已知 M（a,3）和 N（4，b）关于 y 轴对称，则= 。2008)(ba 2、已知两条互不平行的线段 AB 和 AB关于直线 L 对称，AB 和 AB所在的直线交于点 P，下面四个结

8、论： AB=AB；点 P 在直线 1 上；若 A、A是对应点，则直线 1 垂直平分线段 AA；若 B、B是对应点， 则 PB=PB，其中正确的是 。 3、将两块全等的直角三角形（有一锐角为 300）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有 个 4、下列说法中错误的是（ ） A、成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B、关于某条直线对称的两个图形全等 C、全等的三角形一定关于某条直线对称 D、若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 5、等腰三角形有两条边长为 4cm 和 9cm，则该三角形的周长是 。 6、等腰三角形的顶角是 80，则一腰上的高与底边的

9、夹角是 。 7、等腰三角形的一个外角是 80，则其底角是 。 8、已知 A（1，2）和 B（1，3） ，将点 A 向_平移_个单位长度后得到的点与点 B 关于 y 轴对称。 9、如图 3，BC=5，BP、CP 分别是ABC 和ACB 的角的平分线，且 PDAB，PEAC，则PDE 的周长是_。10、如图 4，在ABC 中，ACB=90，BAC=30，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 为等腰三角形，则 符合条件的点 P 共有_个 11、 如图，在ABC 中，AB=AC，M，N 分别是 AB，AC 的中点，D，E 为 BC 上的点，连结 DN，EM。若AOBDCBAPA CDE图

10、3 ABC图 43 / 4AB=13，BC=10，DE=5，则图中阴影部分的面积为。 12、已知等腰三角形的一个角为 42，则它的底角度数_。 13、如图 5，设点 P 是AOB 内一个定点，分别画点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连结 P1P2交于点 M，交 OB 于 点 N，若 P1P2=5cm，则PMN 的周长为多少？14、如图 7，已知：ABC 的B、C 的外角平分线交于点 D。求证：AD 是BAC 的平分线。15、等边ABC 是边长为 1，BD=CD，BDC=120，E、F 分别在 AB、AC 上，且EDF=60，求AEF 的周长。16、如图，ABC 是等边三角形，延长

11、 BC 至 E，延长 BA 至 F，使 AF=BE，连结 CF、EF，过点 F 作直线 FDCE 于 D，试发现FCE 与FEC 的数量关系，并说明理由17、已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DEAB 交 BC 于 E，求证 CT=BE。BACDEFACTEBMD4 / 418、如图，已知ABC 中，ADBC 于 D，C=35，且 AB+BD=DC，求B 度数。19、已知ABC 中，A=90，B=67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形 （请你选用下 面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来

12、。只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）ABC 备用图ABC 备用图ABC 备用图20、如图 1，已知ABC 中，AB=BC，ABC=90，把一块含 30角的直角三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点 上（直角三角板的短直角边为 DE，长直角边为 DF） ，将直角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针方向旋转。 （1）在图 1 中，DE 交 AB 于 M，DF 交 BC 于 N。证明 DM=DN； 在这一旋转过程中，直角三角板 DEF 与ABC 的重叠部分为四边形 DMBN，请说明四边形 DMBN 的面积是否发生变 化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； （2）旋转至如图 2 的位置，延长 AB 交 DE 于 M，延长 BC 交 DF 于 N，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明； 若不成立，请说明理由； （3）旋转至如图 3 的位置，延长 FD 交 BC 于 N，延长 ED 交 AB 于 M，DM=DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明。CABDA DCNFEB M图 2ADCNFEBM图 3ADCNFEBM图 1