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1、1ODCBAO圆的有关性质圆的有关性质【知识要点知识要点】1圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。（2）静态定义：在平面内到定点（圆心 O）的距离等于定长（半径 r）所有点的集合叫做圆：2.圆的相关概念弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：3.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。由此得到推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。4.圆的轴对称性：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直
2、线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。5圆的旋转不变性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形6圆心角、弧、弦关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦相等，所对弦的弦心距相等。7弧的度数等于它所对的圆心角的度数。8圆周角定理及推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90的圆周角所对的弦是直径.（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆 四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆定理：圆内接四边形的对角互补【基础和能力训
3、练基础和能力训练】一、选择题一、选择题 1平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一 定是（ ）A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰2.（2014毕节地区）如图，已知O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是（ ） A 6 B 5 C 4 D 33. （ 2014珠海）如图，线段 AB 是O 的直径， 弦 CD 丄 AB，CAB=20，则AOD 等于（ ）A 160 B 150 C 140 D 1204.（2015 湖南常德）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边 形，已知BOD100，则BCD 的度数为（ ） A、50 B、80 C、100 D、130
4、5.（2015 上海）如图，已知在O 中，AB 是弦，半径 OCAB，垂足为点 D，要使四边形 OACB 为菱形，还需要添 加一个条件，这个条件可以是（ ） A、ADBD；B、ODCD；C、CADCBD；DOCAOC B6 如图：是小明完成的.作法是：取O 的直径 AB，在O 上任取一点 C 引弦 CDAB.当 C 点在半圆上移动时(C 点不与 A、B 重合)，OCD 的平分线与O 的交点 P 必（ ） A。 平分弧 AB B。到点 D 和直径 AB 的距离相等 C三等分弧 ABD.到点 B 和点 C 的距离相等7如图，量角器外沿上有 A、B 两点，它们的读数分别是 70、40，则1 的度数为
5、（ ）度A 10 B 15 C 25 D 308下列语句中正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 2圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 长 度相等的两条弧是等弧；等弧所对的圆心角相等 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.以上都不对 9（2015 湖北荆州）如图，A，B，C 是O 上三点， ACB=25，则BAO 的度数是（ ） A 55 B60 C 65 D 7010（2015甘肃兰州,）如图，经过原点 O 的P 与、x轴分别交于 A、B 两点，点 C 是劣弧上一点，则yACB= A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定#11（2015威海）如图
6、，已知 AB=AC=ADCBD=2BDC，BAC=44，则CAD 的度数为（ ） A68 B88 C90 D112#12. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形 的面积为 16，则该半圆的半径为（ ）A(45) B9 C 4 5 D6 2二填空二填空 13 一个点与定圆上最近点的距离为 4cm,与最远点的距离 为 9cm,则圆的半径是_.14(2015江苏南昌,)如图，点 A, B, C 在O 上，CO 的延 长线交 AB 于点 D,A=50,B=30则ADC 的度数为 .15(2015江苏南京)如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中， CAD=35，则B+E= _ 16（2015
7、江苏徐州）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，连接 AC若CAB=22.5，CD=8cm， 则O 的半径为 cm17(浙江省绍兴市）如图，已知点 A（0，1）， B（0，1），以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，交轴的x正半轴于点 C，则BAC 等于 18（2015江苏泰州,）如图，O 的内接四边形 ABCD 中， A=115，则BOD 等于_.19. 如图，点 A、B、C、D 在O 上，O 点在D 的内部，四 边形 OABC 为平行四边形，则OAD+OCD=_.20(2015贵州六盘水)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举， 它距今约 1400 年，历经无数次洪水冲击和 8 次地震
8、却安然 无恙。如图 10，若桥跨度 AB 约为 40 米，主拱高 CD 约 10 米，则桥弧 AB 所在圆的半径 R 米21（2015浙江衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，水管水面上升了，则此时排水管水面宽等于 m22（2014菏泽）如图，在ABC 中A=25，以点 C 为圆心，BC 为半径的圆交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，3ADCPB OADCPB O则的度数为 23如图O 中，弦ABDC，的延长线相交于点P，如果 120AOD，25BDC，那么P 三三 解答题解答题 24AB 为O 的弦，P 是 AB 上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，
9、PA=4 cm，求O 的半径.25.如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 EK 为弧 AC 上一动点，AK，DC 的延长线相交于点 F，连接 CK，KD求证：AKD=CKF；26 在半径为 1 的O 中，弦 AB、AC 分别是、，23求BAC 的度数的多少27如图,有一座拱桥是圆弧形,它的跨度为（AB）60 米,拱 高 18 米, 当洪水泛滥到跨度（ ）只有 30 米时,要采取 紧急措施,若拱顶离水面只有 4 米时，是否要采取紧急措施?28如图，O 是ABC 的外接圆，AB 为直径，ACCF，CDAB 于 D，且交O 于 G，AF 交 CD 于 E（1）求ACB 的度数；（2）求证
10、：AECE；29（2015浙江滨州）如图,O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 5，ACB 的平分线交O 于点 D.（1）求弧 BC 的长；（2）求弦 BD 的长.4四、附加题四、附加题 30. (2014 年天津市)已知O 的直径为 10，点 A，点 B， 点 C 在O 上，CAB 的平分线交O 于点 D （1）如图，若 BC 为O 的直径，AB=6，求 AC，BD，CD 的长； （2）如图，若CAB=60，求 BD 的长30. 如图，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 交 AB、AC 于 D、E. (1)求证：DOE 是等边三角形. (2)若A=60，ABAC，则(
11、1)中结论是否成立？如果成 立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 解：（1）BAC 是等边三角形，B=C=60 OD=OB=OE=OC， OBD 和OEC 都是等边三角形 BOD=COE=60 DOE=60 ODE 是等边三角形（2）结论（1）仍成立 证明：连接 CD，BC 是直径， BDC=90 ADC=90 A=60， ACD=30 DOE=2ACD=60 OD=OE， ODE 是等边三角形32.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是弧 BD 的中点,垂直 AB,垂足 为 E，BD 交 CE 于点 F,(1)求证：CF=BF (2) 若 AD=2，圆 O 的半径为 3，求 BC 的长证明
12、：(1)连接 AC，则ACB=90，易证BCF=BAC C 是弧 BD 的中点 弧 BC=弧 CDBAC=CBF CBF=BCF BF=CF (2) 连接 OC，交 BD 于点 MC 是弧 BD 的中点 OCBD 则 OM=1/2AD =1CM =2 根据勾股定理 BD=42BM=22 CM=2 BC=2333已知：等边ABC内接于O，点P是劣弧 BC 上的 一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结 CD（1）若AP过圆心O，如左图，请你判断PDC是什么 三角形？并说明理由（2）若AP不过圆心O，如右图，PDC又是什么三角 形？为什么？ 解：（1）ABC 为等腰三角形，AC=BC，BA
13、C=60， AP 过圆心 O， AP 平分CAB，AP 为直径， CAP=30，ACP=90， CP=AP=10=5（cm）， 在CAP 和CBD 中 ，CAPCBD， CP=CD， CPD=CAB=60， PCD 为等边三角形，5ODCBAOCD=PC=5cm；(2)先证APCBDC(过程同上) PC=DCBAP+PAC=60 BAP=BCPPAC=PBC CPD=BCP+PBC =BAP+PAC=60 PC=DC PDC 为等边三角形圆的有关性质圆的有关性质【知识要点知识要点】1圆的定义：（1）动态定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图
14、形叫做圆。（2）静态定义：在平面内到定点（圆心 O）的距离等于定长（半径 r）所有点的集合叫做圆：2.圆的相关概念弦：直径：弧：半圆弧：优弧：劣弧：等弧：同心圆：3.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。由此得到推论：（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。4.圆的轴对称性：(1)圆是轴对称图形；(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(3)圆的对称轴有无数条。5圆的旋转不变性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形6圆心角、弧、弦关系定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的 弦相等，所对弦的弦心距相等。7弧的度数等于它所对的圆心角的度数。8圆周角定理及推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:（1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90的圆周角所对的弦是直径.（2）三角形的一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形9：三角形：圆内接三角形；圆：三角形的外接圆 四边形：圆内接四边形圆：四边形的外接圆定理：圆内接四边形的对角互补【基础和能力训练基础和能力训练】一、选择题一、选择题 1平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一 定是（ C
