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1、1. 1 实数第一章 实数集与函数11 实数实数. .教学目的与要求教学目的与要求 1理解实数的概念,掌握实数的表示方法 2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用 3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用. .教学重点与难点教学重点与难点 重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式. 难点: 实数的定义及其应用. .讲授内容讲授内容一一 实数及其性质实数及其性质 实数的组成实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成有理数的表示有理数的表示:有理数可用分数形式(为整数，0)表示，也可用有限十进qpp qq小数或无限十进循环小数来表示. 无理数无理数:无限十进不
2、循环小数则称为无理数无理数有理数和无理数统称为实数实数有限小数(包括整数)也表示为无限小数规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当 x=.时，其中 0i=1,2,n, 为非负整数，记 x=.a0a1a2na, 9iaa, 0aa0a1).999 9 1a2na(,而当 x=a为正整数时，则记x=(1)999 9，1a0例如 2001 记为 2000 999 9；对于负有限小数(包括负整数)y，则先将y 表示为 无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如8 记为7999 9；又规定数 0 表示为 0000 0于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示我们已经熟知比较两个有理数大小的方法现定义
3、两个实数的大小关系定义定义 1 给定两个非负实数x= 0a. y=aa1na,.210nbbbb其中为非负整数，(k=1，2，)为整数，09，09.若有00,bakkba ,akbk0，1，2，则称 x 与 y 相等，记为 x=y；若或存在非负整数 L，使kbakk,00ba 得 =(k=0，1，2，L)而，则称 x 大于 y 或 y 小于 x，分别记为 xyakbk11llba或 yx)另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数定义定义 2 : =.为非负实数称有理.为实数xa0a1a2nanxa01aa2na1. 1 实数x 的 n 位不足近似位不足近似，而有理数称为 x 的 n 位过剩近似
4、位过剩近似，n=0,1,2, .nxnnx101对于负实数,其 n 位不足近似与过剩近似分别规定为naaaaax3210.与.nnnaaaaax101.3210nxnaaaaa3210.注注 不难看出，实数 x 的不足近似当 n 增大时不减，即有 xxx，而过nx012剩近似当 n 增大时不增，即有nx0x1x2x命题命题 设 x=.与 y=.为两个实数，则 xy 的等价条件是：a0a1a2b0b1b2存在非负整数 n，使得，xnny其中表示的位不足近似，表示的位过剩近似 xnxnnyyn例例 1设 x、y 为实数，x.ab3实数的大小关系具有传递性，即若，c，则有cabba4实数具有阿基米德
5、(Archimedes)性，即对任何、R，若0，则存在正整abba 数，使得nn ab5实数集 R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有 理数(见例 1)，也有无理数6如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点作为原点，指定一个方向为正向O (通常把指向右方的方向规定为正向)，并规定一个单位长度,则称此直线为数轴数轴任一实数 都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数于是，实数 集 R 与数轴上的点有着一一对应关系因此在以后的叙述中，常把“实数”与“数轴上a 的点”看作具有相同的含义a例例 2 设、R证明：若对任何正数有令，abab 则为正数且
6、，但这与假设相矛盾从而必有 baabab 二二 绝对值与不等式绝对值与不等式 实数 a 的绝对值绝对值定义为 . 0, 0,aaaaa从数轴上看，数的绝对值就是点到原点的距离aaa实数的绝对值有如下一些性质：1 0；当且仅当=0 时有=0aaaa2aaa3；ahhah0hhahha4对于任何、R 有如下的三角形不等式：三角形不等式：.abbababa5baab 60bbaba下面只证明性质 4，其余性质由学生自行证明由性质 2 有.,bbbaaa两式相加后得到 .)(bababa根据性质 3，上式等价于.baba1将(1)式换成，(1)式右边不变，即得，这就证明了性质 4 不等式bbbaba的右半部分又由）式有据（ 1,bbaa. bbaa从而得.baba 2将(2)式中换成，即得证.bb得性质4.baba 小结与提问小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关1. 1 实数性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以运用. 课外作业课外作业: :P 3、4、5、6、7、8、9.
