《.试验、事 件、样本空间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《.试验、事 件、样本空间（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,1. 前 言,2. 参 考 书,3. 本学科 历史,4. 本学科 应用,5. 作业,概率论与数理统计,概率论与数理统计是研究随机现象数量,规律的学科, 理论严谨, 应用广泛,发展迅速. 不仅高等学校各专业都,开设了本课程, 而且在上世纪末，,此课程特意被教育部定为本科生考,研的数学课程之一，希望大家能认,前,言,真学好这门不易学好的重要课程.,国内有关经典著作,国外有关经典著作,2.概率论及其应用（第三版）， 美威廉费勒，胡迪鹤译，人民邮电出版社,2.概率论与数理统计 中山大学数学系编,本学科历史,概率(或然率或几率) 随机事件发生,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,1657年惠更斯的
2、论赌博中的计算一书成为概率论的早期著作.,概率论的诞生：1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌徒胜 a 局 ( ac ),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念数学期望,1718年法国数学家棣莫弗的机会论是早期概率论的重要著作.1730年他的分析杂论中包含著名的棣莫弗拉普拉斯定理。,瑞士数学家J.伯努利；他开创了母函数方法的先河。,1774年拉普拉斯给出概率的古典定义，在概率论的分析理论一书中表明了自己关于概率的哲学观，并建立
3、了误差理论和最小二乘法，引入如差分方程等强有力的分析方法，将概率论推向一个新的发展阶段。,使概率论成为数学分支的真正奠基人是,还有一系列在概率论发展上闪光的名字：高斯，法国数学家泊松，俄国数学家柯尔莫哥洛夫，切比雪夫，李雅普洛夫，辛钦等等，他们会永载史册！,概率论发展史体现了理论与实际之间的密切联系，许多重要问题都有实际背景，交叉学科陆续产生，如生物统计，物理统计，排队论，信息论，控制论，随机运筹学等，现在随着电子计算机的产生发展，为概率论发展开辟了更广阔领域。,若问什么地方概率统计用得上？,我的回答是-几乎任何领域.,本学科的应用,运用概率的领域包括,精算 农业 动物学 人类学 考古学 审计
4、学 晶体学 人口统计学 牙医学 生态学 经济计量学 教育学 选举预测和策划 工程 流行病学,金融 水产渔业研究 遗传学 地理学 地质学 历史研究 人类遗传学 水文学 工业 法律 语言学 文学 劳动力计划 管理科学 市场营销学 医学诊断,气象学 军事科学 核材料安全管理 眼科学 制药学 物理学 政治学 心理学 心理物理学质量控制 宗教研究 社会学 调查抽样 分类学 气象改善 搏采，等等.,巴拿赫火柴问题,一位吸烟的数学家总带着两盒火柴，每盒有N根.一盒放在左边的衣袋中，另一盒放在右边的衣袋中.每当他需要用一根火柴时，就等可能的从其中任一个衣袋中取用.问他第一次发现其中一盒是空的，而另一盒正好还有
5、k根（k0，1，2,N）火柴的概率是多少？,相关知识点,1. 事件的独立性 2. n重伯努利试验,这是经典的概率应用问题.,应用背景,信号收发问题,将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其他一字母的概率都是(1)/2.今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1+p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的.）,应用背景,信号输入信道后，有可能由于硬件原因，使得输出的信号与原始信号有差异.此时可以根据已知的条件，求得出现误差的
6、概率.,相关知识点,1.条件概率 2.全概率公式 3.贝叶斯公式,人寿保险,在人寿保险公司里有 4000个同一年龄的人参加人寿保险，在一年里，这些人的死亡率为0.1 % ，参加保险的人在一年的头一天交付保险费 50 元， 在一年内死亡时，家属可以从保险公司领取 20 000 元. ( 1 ) 求保险公司一年中获利不小于100 000元的概率; ( 2 ) 求保险公司一年内亏本的概率.,应用背景,研究在一定条件下,人寿保险公司亏本的概率和盈利的概率.,相关知识点,1.二项分布 2.正态分布3.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,法国数学家拉普拉斯(Laplace)说过：,“ 生活中最重要的问题 , 其
7、中绝大多数在,实质上只是概率的问题.”,英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾,对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正,的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那,么我们就寸步难行, 无所作为.,如何学好本课程,1. 推敲并深刻理解概念，及时巩固；,2. 适当选取参考书；,3. 条件具备时做一些相关课题。,考勤、作业,作业要求：作业右上角写清学号，姓名。课代表按学号排序交齐作业，每次批三分之一。,第一章 随机事件与概率,第三节 古典概型和几何概型,第一节 随机事件及运算,第四节 条件概率与乘法公式,第五节 独立性,第二节 概率及性质,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,1. 确定性现象,“同
8、性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例,自然界所观察到的现象:,确定性现象、,随机现象,“函数在间断点处不存在导数” 等.,确定性现象的特征,条件完全决定结果.,1.1-1.2 随机试验、随机事件、样本空间,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.,实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.,2. 随机现象,结果:有可能出现正面也可能出现反面.,实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.,结果有可能为:,1, 2, 3, 4, 5 或 6.,实例3 出生的婴儿可能是男，也可能是女.,随机现象的特征,条件不能完全决定结果.,说明,i. 随机现象揭示了条件和结果之
9、间的非确定性联系, 其数量关系无法用函数加以描述.,实例4 从天津大学到火车站的乘车过程中 ，可能遇到的红灯数。,ii. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有某种固有的规律性（统计规律性）, 概率论就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科.,随机现象是通过随机试验来研究的.,问题 什么是随机试验?,如何来研究随机现象?,定义一（随机试验）： 将一切具有下面三个特点： （1）可重复性 （2）不确定性 （3）不可预见性 的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。,3.试验: 可指各种各样的科学试验,也包括对事物特征的观察与检测等,例 ：
10、 E1：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。 E5：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E6：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,定义二 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。随机事件一般用大写英文字母A,B,C等表示。例 ： 在E2中，“出现正反反(HTT)”，“出现两次正面” “三次出现同一面”等都是随机事件，可将依次记为A,B,C。 在E5中，“灯泡的寿命超过500小时”是一随机事件，我们可用
11、D表示此事件。,定义三（基本事件与复合事件） 随机试验的每一个可能结果，是随机试验中最简单的随机事件，称为基本事件。由基本事件组成的事件称为复合事件，简称事件。,两个特别的事件 （1）不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。如“掷一粒骰子掷出8点” 。 （2）必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 。如“掷一粒骰子点数小于7 ”。,下面我们来为随机试验建立一个数学模型,样本空间,我们把随机试验的每个可能结果(基本事件)称为样本点，记作. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用 表示.,样本点,现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .,样本空间是由试验的内容所决定的。,例 将一枚
12、硬币抛掷两次观察正反面出现的情况，则样本空间,=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),虽然每次试验的结果事先不可确定,但试验的全部可能结果，是在试验前就明确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能结果，但可以知道它不超过某个范围。由此，我们可以确定一个实验的样本空间。,如果试验是测试某灯泡的寿命：,则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，,= t ：t 0,故样本空间,如果试验是将一枚硬币抛掷两次观察正反面出现的情况，则样本空间由如下四个样本点组成：,=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),样本空间在如下意义上提供了一个
13、理想试验的模型：,在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,例 ：写出E1到E6的样本空间：1 ：H, T2 ：HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT3 ：0, 1, 2, 34 ： 0, 1, 2, 3, 5 ：t|t06 ：(x,y)| T0xyT1,2. 同一试验, 若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.,例如，对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”.,若观察正面H、反面T 出现的情况，则样本空间为,若观察出现正面的次数, 则样本空间为,注意 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同.,3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型
14、. 因此 , 一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.,例如，只包含两个样本点的样本空间,它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能 用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.,所以在具体问题的研究中, 描述随机现象的第一步就是建立样本空间.,引入样本空间后，事件便可以表示为样本点的集合，即为样本空间的子集。,例如，掷一颗骰子，观察出现的点数,= i ：i=1, 2, 3, 4, 5, 6,事件B就是 的一个子集,B = 1,3,5,易见，B发生当且仅当B中的某个样本点出现.,一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事
15、件多点集 必然事件样本空间 不可能事件空集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。,概率论与集合论有关概念的对应关系表：,概率论 集合论 记号 样本点 元素 i 样本空间 全集 随机事件 子集 A，B，C 基本事件 单点集 i 不可能事件 空集 ,事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。,事件间的关系与运算,定义1.（事件的包含与相等）若事件A发生必然导致事件B发生，则称A包含于B或B包含A，记为A B或B A 。若A B且A B则称事件A与事件B相等，记为AB。,定义2. （和事件） “事件A与事件B至少有一个发生”的事件，称此事件为事件A与事件B的和事件或并事件。记为AB。 用集合表示为: AB= | A，或 B, ,推广：事件的和的概念可推行至任意有限和及可列和的情况：,例 袋中有5个白球，3个黑球，从中任取3个球，令A表示“取出的全是白球”，B表示“取出的全是黑球”，C表示“取出的球颜色相同”，,D= A1 A2 A3,
