在第四册我们曾提过在一平面上

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1、在第四冊我們曾提過：在一平面上， 與一固定點 O 距離相等的所有點組成的圖 形就是圓 O。一個圓可以將平面分成圓的內部（包 含圓心，如下圖藍色區域）、圓周以及圓 的外部（如下圖黃色區域）。,在一平面上，一條直線與一個圓會有什麼樣的位置關係呢？ 請同學們在白紙上先畫下一個圓，如下圖。,再將直尺在紙上任意移動，並用筆沿直尺畫出直線若干條。,觀察這些直線和圓的位置關係和相交情形，同學們不難發現， 直線和一圓的位置關係以及相交情形可分成下列三類情形：,(1) 直線和圓沒有交點,(2) 直線剛好與圓相交於一點,(3) 直線和圓相交於兩點,點和圓的位置關係， 可以用點到圓心的距離和圓的半徑來比較判斷， 那

2、麼直線和圓的位置關係， 是不是也可以用圓心到直線的距離和圓的半徑來比較判斷呢？ 圓心到直線的距離是指什麼呢？,直線 L 和圓 O 的位置關係 可以由圓心 O 到直線 L 的距離與半徑 r 的大小關係來判斷。,直線和圓的位置關係,是，是。,直線和圓的位置關係,直線和圓的位置關係,因此我們知道：,1. 圓心到切線的距離等於圓的半徑。2. 圓心與切點的連線垂直過切點的切線。,我們將上面的結果整理如下：,一圓 O 的半徑為 5， 已知圓心 O 到三條直線 L1、L2、L3 的距離分別為 3、5、7， 試判斷直線 L1、L2、L3 和圓的位置關係。 答：,L1 與圓 O 相交於兩點， L2 與圓 O 相

3、交於一點， L3 與圓 O 不相交。,弦心距平分其弦,弦與其弦心距關係密切，請看下面的例子。,兩長方形相似之判別,由例題一我們得知：,一弦的弦心距垂直平分此弦。,弦心距與弦關係之應用,弦心距與弦關係之應用,在同一圓中， (1) 等長的弦所對應的弦心距也等長。 (2) 弦越長，所對應的弦心距反而越短。,因此我們有：,一弦的垂直平分線必過其所在圓的圓心。,在第四冊裡，我們曾經學過用摺紙的方法來找出 一個圓的圓心。如果只知道某圓的一部分圓弧，有沒 有什麼方法可找出該圓的圓心呢？,找圓心,右圖為某一個圓的部分圓弧， 請找出此圓的圓心。,1. 說說看，為什麼例題三中的 O 點即為所求的圓心？ 答：2.

4、如右圖，已知 A、B、C 三點為同一圓上的三點，請找出這個圓的圓心。 答：,在日常生活中，常見與圓的切線有關的現象或問題，例如： (1) 下圖中的直線即為車輪的切線。,(2) 用一條繩子，一端綁一粒小石頭，一端握在手中，甩動石子使石子繞圓圈轉動。如果此時你將手中這端的繩子鬆開，你會發現石子沿切線的方向飛出。,用尺規作圖方式，作出過圓 O 上一點 P 的切線。 答：,連直線 OP。 過 P 點作直線 OP 的垂直線 L。 直線 L 即為所求。,切線性質之應用,我們知道如何過圓上一點作一條切線， 但如何過圓 O 外一點 P 作一條圓 O 的切線呢？ 如右圖， 我們移動直角三角板， 使其一股通過圓心

5、 O， 直角頂點 A 落在圓 O 上， 且其另一股通過 P 點， 則直線 AP 即為所求的切線。,1. 說說看，為什麼直線 AP 是通過 P 點的切線？ 答：2. 你能利用類似的方法，作另一條通過 P 點的切線嗎？ 答：,由上面的討論可知，利用直角三角板過圓外一點是可以畫出圓的兩條切線（我們也可以用尺規作圖的方法，過圓外一點作出圓的兩條切線。這部份將在下一節中介紹）。這兩條切線有何特性呢？,圓外一點至圓之兩切線的性質,過圓外一點，到圓的兩切線段長度相等。,APB23060,切線性質的應用,在上面的討論中，我們知道：,如果一個四邊形有內切圓， 那麼這個四邊形的對邊長的和相等。,先在紙上描出一個與

6、 10 元硬幣大小相同的圓， 然後剪下附件 (一) 上的紅色小圓， 將它放在紙上，並朝 10 元硬幣大小的大圓移動， 你會依序發現這兩個圓的位置關係大致可分成下列幾種情形：,(1) 一圓完全在另一圓的外部，我們就說這兩個圓外離。,(2) 兩圓相交於一點 P，而且除了這個 P 點之外，兩圓各自在對方的外部，我們就說這兩個圓外切，P 點為其切點。,(3) 兩圓相交於 A、B 兩點。,(4) 兩圓相交於一點 P，而且除了這個 P 點之外，其中一圓完全在另一圓的內部，我們就說這兩個圓內切，P 點為其切點。,(5) 一圓完全包含在另一圓的內部，我們就說這兩個圓內離。,兩圓的位置關係,下面我們來探討兩個圓

7、的半徑與其位置之間的關係。,是。,兩圓的位置關係,兩圓的位置關係,是。,兩圓的位置關係,是，是。,由活動二，當 r1r2 時，我們知道：,當兩圓半徑 r1 與 r2 相等時，同樣有外離、外切及相交於 兩點的情形（如上列 (1) (2) (3)），但沒有內切、內離的情形。,因為活動二之 (2) (4)，在操作時圓 O1 與圓 O2 的 圓心都始終保持在直線 L 上移動，因此我們還可發現：,兩圓外切或內切時，連心線必通過切點。,兩圓位置關係之判別,兩圓位置關係之判別,已知圓 O1 與圓 O2 的連心線段長10。 若圓 O1 與圓 O2 的半徑分別如下， 請問兩圓位置關係各為何？ 答：,外離 相交於

8、兩點 外切 內離 內切,在平面上，如果直線 L 同時是圓 O1 與圓 O2 的切線， 我們就說直線 L 是這兩圓的公切線。 例如，在右圖中，直線 L1 與 L3 是 圓 O1 與圓 O2 的公切線， 但是直線 L2 與 L4 不是 圓 O1 與圓 O2 的公切線。,圖 2-6 兩圓外離,圖 2-7 兩圓外切,圖 2-8 相交於兩點,圖 2-9 兩圓外離,是，是，因為圓外一點至圓的兩切線段長相等。,是。,圖 2-10 兩圓外離,圖 2-11 兩圓外切,圖 2-12 相交於兩點,圖 2-13 兩圓外離,由上面的問題討論可知：,(1) 兩圓外離、外切或相交於兩點時，外公切線段等長。 (2) 兩圓外離

9、時，內公切線段等長。,當兩個圓有外公切線或內公切線時， 我們也可以將切線段的長度求出來。,求內公切線段長,分析：因為圓心與切點的連線必垂直切線，利用直角三角形的畢氏定理， 即可求出 的長度。,求內公切線段長,想想看： (1) 兩圓外切時，有幾條內公切線？ 答：(2) 兩圓相交於兩點時，有幾條外公切線？有沒有內公切線？ 答：(3) 兩圓內切時，有幾條外公切線？有沒有內公切線？ 答：(4) 兩圓內離時，有沒有外公切線？有沒有內公切線？ 答：,1條。,2條，沒有。,1條，沒有。,沒有，沒有。,1. 點 P 和圓 O 的位置關係：(1) 點 P 在圓外： 半徑。(2) 點 P 在圓上： 半徑。(3)

10、點 P 在圓內： 半徑。2. 直線 L 和圓 O 的位置關係：(1) 不相交：圓心 O 到 L 的距離大於半徑。(2) 相交於一點 ( L 是圓 O 的切線 )：圓心 O 到 L 的距離等於半徑。(3) 相交於兩點 ( L 是圓 O 的割線 )：圓心 O 到 L 的距離小於半徑。,2. 已知圓 O 的直徑為 15 公分，圓心到直線 L 的距離為 8 公分，則直線 L 和圓 O 有幾個交點？, 87.5 直線 L 和圓 O 沒有交點,5. 如右圖，圓 O1 的半徑為 5，圓 O2 的半徑為 3，O1O212。已知圓 O3 的圓心在 O1O2 上，且圓 O3 同時和圓 O1、圓 O2 外切，則圓

11、O3 的半徑為多少？,圓 O3 的直徑12( 53 ) 4 圓 O3 的半徑為 2,本節已結束。 請點選數學小博士 離開投影片。,1. 如右圖，將點A、B、C、D 分別與圓心O連線。判斷哪 些點在圓內、圓上、圓外。2. 已知圓O的半徑為6，若A點的位置在圓內， 則A點與圓心O的距離可能為何？ (A) 10 (B) 8 (C) 6 (D) 4,解 A點在圓外，C點在圓上，B、D點在圓內。,右圖是一個圓心為O的圓形靶。 蟲蟲射了6支飛鏢，其中3支在圓 外，2支在圓上，1支在圓內。請 根據這個資料在右圖中點出這六 個落點的可能位置。,解 答案不只一種， 右圖僅供參考。,圓O與直線L在同一平面上。若圓

12、O半徑為3公分， 且其圓心到直線L的距離為2公分，則圓O和直線L的 位置關係為何？ (A) 不相交 (B) 相交於一點 (C) 相交於兩點 (D) 無法判別96.基測(一)第15題,解 L1和圓O有2個交點；L2和圓O有1個交點；L3和圓O沒有交點。,已知圓O的半徑為5公分，圓心O到三直線L1、L2、L3的距離分別是4公分、5公分和6公分， 請問這三條直線與圓O分別有幾個交點？,解 只有2公分、8公分有可能是圓心O到直線L的距離。,已知圓O的半徑為10公分，直線L和圓O相交於兩點，則圓心O到直線L的距離有沒有可能是2公分、8公分、10公分或15公分？,填入適當的答案以完成對右圖中 L1、L2、

13、L3三直線與圓O位置關係 的描述： (1) 已知OC是半徑，L1與圓O 有 個交點，L2與圓O有 個交點，L3與圓O有 個交點。 (2) 哪一條直線是圓O的切線？哪一條直線是圓O的割線？,0,2,1,L3,L2,如右圖， (1) 如果弦 的弦心距OC是3公分，長8公分，則圓O的半徑是幾公分？ (2) 設圓O的半徑是5公分，弦 長6公分，則弦 的弦心距OC為多少公分？,4公分。,5公分。,已知 是圓O的直徑， ，且 8，則 的弦心距OE為多少？創創的解法 如下，請你幫創創解決這個問題。 假設OEx，因為 8，則 。（用 x 表示）連接 ，則 。因為OED為直角三角形，依勾股 定理 2OE 2 2

14、，但是OE的長是多少呢？,8x,已知圓O的半徑為5cm，則下列何者不可能是 圓O內的弦長？ (A) 2cm (B) 5cm (C) 10cm (D) 11cm,如右圖有三個大小相同的圓，其中各有 長度分別為5、7的兩弦，且甲、乙、丙 分別是各圓與其兩弦形成的紫色區域。 根據圖中圓與弦的位置，判斷甲、乙、 丙面積的大小關係為何？ (A) 甲乙丙 (B) 甲丙乙 (C) 甲乙丙 (D) 甲乙丙 96.基測(二)第6題,1. 99（猜一字） 2. 途中（猜一數學名詞） 3. 有情人終成眷屬（猜一數學名詞）,解 1. 白2. 半徑3. 同心圓,如右圖，已知A、B、C、D四點 皆在同一圓上，請畫出該圓。

15、,如右圖，判斷出哪一條是圓O的切線？ (A) 直線L (B) 直線M (C) 直線N (D) 直線K,如右圖，直線AP切圓O於A點， 且圓O的半徑長為6， 16。 若有一直線L與圓心距離 PR， 則直線L與圓O有幾個交點？ (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 無法確定 90.基測(二)第21題,如右圖，大、小兩圓內切於 P 點。 今甲、乙兩人分別自 P 點出發， 甲沿著大圓圓周，走了 大圓周長 到達位置 A；乙沿著小圓圓周， 走了 小圓周長到達位置 B。若兩圓的半徑分別為 8 m、5 m，則 ？ 96.基測(二)第27題,解 (1) OAPOBP90；(2) AOB18040140。,如右圖， 和 是P到圓O的切線段， (1) 求OAP和OBP的度數。 (2) 若APB40，求AOB的度數。,如右圖， 、 分別為兩圓 的弦， 、 為兩圓的 公切線且相交於P點。 若 2， 3， 6， 則PAB的周長為何？ (A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 14 97.基測(一)第9題,如右圖，平面上三條直線 L1、L2、L3 分別切圓 O 於A、B、C三點，且L1與L2分別交L3於D、E兩點。 若ADC60，則下列哪一個選項是正確的？ (A) 1 2180 (B) 3 4180 (C) 2 4180 (D) 1 5180 90.基測(二)第18題,