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1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一利用递推关系式求数列通项的总述：一利用递推关系式求数列通项的 1111 种方法：种方法： 累加法、累加法、 累乘法、累乘法、 待定系数法、待定系数法、 阶差法（逐差法）阶差法（逐差法） 、 迭代法、迭代法、 对数变换法、对数变换法、 倒数变换法、倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）换元法（目的是去递推关系式中出现的根号） 、 数学归纳法、数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式） 、 特征根法特征根法 二
2、。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比 数列。数列。 四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五数列的本质是一个
3、函数，其定义域是自然数集的一个函数。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法一、累加法 1适用于：适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 1 ( ) nn aaf n 2若， 1 ( ) nn aaf n (2)n 则 21 32 1 (1) (2) ( ) nn aaf aaf aaf n 两边分别相加得 11 1 ( ) n n k aaf n 例例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 211 nn aana ， n a 解：由得则 1 21 nn aan 1 21 nn aan 11232211 2 ()()()() 2(
4、1) 1 2(2) 1(2 2 1)(2 1 1) 1 2(1)(2)2 1(1) 1 (1) 2(1) 1 2 (1)(1) 1 nnnnn aaaaaaaaaa nn nnn nn n nn n 所以数列的通项公式为。 n a 2 n an 例例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 2 313 n nn aaa ， n a 解法一：由得则 1 2 31 n nn aa 1 2 31 n nn aa 11232211 1221 1221 1 ()()()() (2 31)(2 31)(2 31)(2 31)3 2(3333 )(1)3 3(1 3) 2(1)3 1 3 331
5、 3 31 nnnnn nn nn n n n aaaaaaaaaa n n n n 所以31. n n an 解法二：两边除以，得， 1 32 31 n nn aa 1 3n 1 11 21 3333 nn nnn aa 则，故 1 11 21 3333 nn nnn aa 11223211 22321 11 122 122 ()()()() 33333333 212121213 ()()()() 333333333 2(1)11111 () 1 333333 nnnnnnn nnnnn nn nnn nnnn aaaaaaaaaa aa n 因此， 1 1 (1 3) 2(1)211 3
6、1 331 3322 3 n n n nn ann 则 211 33. 322 nn n an 评注评注：已知,，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函 aa 1 )( 1 nfaa nn 数、分式函数，求通项. n a 若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; 若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。 例例 3.已知数列中, 且,求数列的通项公式. n a0 n a )( 2 1 n nn a n aS n a 解
7、:由已知得, )( 2 1 n nn a n aS)( 2 1 1 1 nn nnn SS n SSS 化简有,由类型(1)有, nSS nn 2 1 2 nSSn32 2 1 2 又得,所以,又, 11 aS 1 1 a 2 ) 1( 2 nn Sn 0 n a 2 ) 1(2 nn sn 则 2 ) 1(2) 1(2 nnnn an 此题也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法二、累乘法 1.适用于：适用于： -这是广义的等比数列 1 ( ) nn af n a 累乘法是最基本的二个方法之二。 2若，则 1 ( ) n n a f n a 312 12 (1)(2)( ) n n aaa f
8、ff n aaa ， 两边分别相乘得， 1 1 1 1 ( ) n n k a af k a 例例 4 已知数列满足，求数列的通项公式。 n a 11 2(1)53 n nn anaa ， n a 解：因为，所以，则，故 11 2(1)53 n nn anaa ，0 n a 1 2(1)5n n n a n a 132 1 1221 1221 1(1) (2)2 1 (1) 1 2 2(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 3 2 (1)3 2 53 3 25! nn n nn nn nnn n n n aaaa aa aaaa nn n n n 所以数列的通项公式为 n
9、 a (1) 1 2 3 25!. n n n n an 例例 5.设是首项为 1 的正项数列，且（=1，2， 3，） ， n a01 1 22 1 nnnn aanaan n 则它的通项公式是=_. n a 解：已知等式可化为： 0) 1()( 11 nnnn naanaa ()(n+1), 即 0 n a * Nn 0 1 nn naa1 1 n n a a n n 时， 2n n n a a n n 1 1 =. 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n 1 2 1 1 21 n n n n n 1 评注：评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解
10、（一般情况时用求根公式）得 n a 1n a 到与的更为明显的关系式，从而求出. n a 1n a n a 练习.已知,求数列an的通项公式. 1, 1 11 annaa nn 答案：-1. n a) 1()!1( 1 an 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为转化为 , 1 1 nnaa nn 若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法 ),1(1 1 nn ana1 nn ab nn nbb 1 求出数列的通项公式. 三、待定系数法三、待定系数法 适用于适用于 1 ( ) nn aqaf n 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本
11、质是一个函数，其定义域是自然数集的一 个函数。 1形如,其中)型 0( , 1 cdcaa nn aa 1 （1）若 c=1 时，数列为等差数列; n a （2）若 d=0 时，数列为等比数列; n a （3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列 01 且dcn a 来求. 待定系数法：设, )( 1 nn aca 得,与题设比较系数得 ) 1( 1 ccaa nn , 1 dcaa nn ,所以所以有： dc) 1( )0( , 1 c c d ) 1 ( 1 1 c d ac c d a nn 因此数列构成以为首项，以 c 为公比的等比数列， 1c d an 1 1
12、 c d a 所以 即：. 1 1 ) 1 ( 1 n n c c d a c d a 1 ) 1 ( 1 1 c d c c d aa n n 规律：将递推关系化为,构造成公比为 c 的等比数 dcaa nn 1 ) 1 ( 1 1 c d ac c d a nn 列从而求得通项公式 1 c d an) 1 ( 1 1 1 1 c d ac c d a n n 逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把 n 换成 n-1 有 dcaa nn 1 ,两式相减有从而化为公比为 c 的等比数列,进 dcaa nn 1 )( 11 nnnn aacaa 1nn aa 而求得通项公式. ,再利用类型
13、(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复 )( 121 aacaa n nn 杂. 例例 6 已知数列中，求数列的通项公式。 n a 11 1,21(2) nn aaan n a 解法一： 1 21(2), nn aan 1 12(1) nn aa 又是首项为 2，公比为 2 的等比数列 1 12,1 n aa ，即12n n a 21 n n a 解法二： 1 21(2), nn aan 1 21 nn aa 两式相减得，故数列是首项为 2，公比为 2 的等 11 2()(2) nnnn aaaan 1nn aa 比数列，再用累加法的 练习已知数列中，求通项。 n a , 2 1 2 1 , 2 11 nn aaa n a 答案： 1) 2 1 ( 1 n n a 2形如： (其中 q 是常数，且 n0,1) n nn qapa 1 若 p=1 时，即：，累加即可. n nn qaa 1 若时，即：， 1p n nn qapa 1 求通项方法有以下三种方向：i. 两边同
