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1、第二章 连续系统时域分析,系统的时域经典分析法 微分方程的算子表示系统的零输入与零状态分析法系统的阶跃响应与冲激响应系统分析的卷积积分法,系统分析：,引言,系统分析的主要研究，在给定激励（输入）作用下，系统将产生什么样的响应（输出）。,分析的主要方法是，建立描述系统的数学模型，然后求解该模型，得出分析结果，必要时对结果进行必要的分析讨论。,课件,3,2-1 线性连续时间系统的经典分析,一、系统微分方程,考虑下面的电路系统,回路1：,回路2：,代入元件参数，并利用消取法得到,课件,4,二、统微分方程的求解,根据微分方程理论，方程（2-1）的解，由两部分组成：一部分是方程（2-1）对应的齐次微分方
2、程的解y0(t); 另一部分是方程（2-1）的一个特解yd(t)，即,一般地，对于一个n阶系统，设其响应为y(t)，激励为f(t)，描述该系统的微分方程为,（2-1）,1、微分方程的齐次解,方程（2-1）对应的齐次微分方程为,课件,5,（2-2）,方程（2-2）的特征方程为,（2-3）,（1）当特征方程为互不相同的单根时，此时齐次解具有如下形式,（2）当特征方程有重单根时，假设i是特征方程的r重根，此时对应重根的齐次解具有如下形式,其余n-r个单根对应的解的形式与（1）相同,课件,6,2、微分方程的特解yd(t),特解的函数形式与方程的右端项形式密切相关。表2-1列出了几种右端项对应的特解形式
3、。,当不是特征根时,当是单特征根时,当是r重特征根时,表2-1,课件,7,例2.1 二阶RLC串联电路暂态响应,t0 ,由KVL,有,(二阶常系数线性非齐次微分方程),(特征方程),课件,8,二阶RLC串联电路暂态响应,t0 ,由KVL,有,(二阶常系数线性非齐次微分方程),(特征方程),课件,9,特征根:,（自然频率、固有频率）,3、共轭复根：,2、重根：,1、两个单实根：,二、传输算子1、微分算子,课件,11,2、回路阻抗矩阵,3、算子形式的电路模型,课件,12,4、节点导纳矩阵,5、传输算子,对于n阶系统： 传输算子可表示为两个p 的多项式之比：,传输算子,课件,14,5、只含有一个待求
4、函数的微分方程,三、自然频率,1、定义：系统对应特征方程的根称为自然频率或固有频率。,2、意义：反映系统时域特性,（、s 域频率特性）,响应时变规律 系统的稳定性,3、求法； 1）含源电路: 算子形式电路模型; 求H(p) ；求D(p)=0的根。 2）无源电路外加电源外加电压源外加电流源,反映系统频域特性,例1：如下电路的自然频率,课件,17,1,2,3）矩阵行列式法,经典法基本步骤：,1）求系统数学模型； 2）求齐次方程通解y0(t)； 3）求非齐次方程特解yt(t) ； 4）写出非齐次方程通解 y(t)= y0(t) + yt(t) 5）根据初始值求待定系数； 6）写出给定条件下非齐次方程
5、解。, 2-2 连续系统时域经典分析,2-3 系统的全响应,微分方程为：,零输入响应是系统齐次微分方程的解,当系统的激励为零，但初始状态不为零时，系统的响应， 通常用yx(t)表示。,一、零输入响应,系统的全响应就是系统微分方程的解。 在分析系统时，通常把全响应分成零输入响应和零状态响应,课件,20,微分方程为：,因初始状态为零，零状态响应是非齐次微分方程的特解,当系统的激励不为零，但初始状态为零时，系统的响应，通常用yf(t)表示。,二、零状态响应,三、全响应,课件,21,2-4 系统的零输入响应的求解,一、零输入响应的通解表达式,1）自然频率全部为单根：,2）自然频率含重根：p1=p2=p
6、r，其余单根,特征方程：,其中：常数Ai由初始条件确定,系统齐次微分方程的解,课件,22,二、求解系统零输入响应的一般步骤,1）求系统的自然频率； 2）写出零输入响应yx(t)的通解表达式； 3）根据换路定理、电荷守恒定理、磁链守恒定理求出系统的初始值 ：,4） 将初值带入yx(t)的通解表达式，求出待定系数； 5）画出yx(t)的波形。,例1：,求系统的响应 y(t)。,已知某系统激励为零，初始值为：,描述系统的传输算子为：,课件,24,例2：,图示电路，,求 i1(t) 、i2(t),1）i1(0-) =2A，i1(0+)=1A/s； 2） i1(0-) =1A，i2(0-)=2A；,解:
7、,已知：,课件,25,例3: 图示电路，t0，K闭合，电路稳定；t=0，K断开; 求电流iL(t) 。,解：,uc(0-) = 8V , iL(0-)=2A,t0 时,特征方程：,自然频率：,1）,由题可知：,课件,26,2),3）,4）,uc(0+) = uc(0-) = 8V ,iL(0+) = iL(0-) = 2A,5）画波形,2-5 连续系统冲激响应与阶跃响应,一、单位冲激响应,激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。,1）一阶系统的单位冲激响应,t 0时，因,所以，冲激响应的形式为：,特征方程：,特征根：,课件,28,将（2）（3）代入（1）得：,所以，一阶系统的冲激响应为：,2）高
8、阶系统的单位冲激响应,传输算子:,特征方程：,课件,29,a）当nm，且特征根均为单根时：,将H(p)展开成部分分式：,课件,30,b）当nm，特征根有重根时：,设重根为：p1= p2 = pr 其余为单根,将H(p)展开成部分分式：,课件,31,c）当n=m时：,先用长除法，再展开成部分分式：,此时，h(t)中含有冲激信号,d）当nm时：,同样先用长除法，再展开成部分分式：,课件,32,a）求传输算子H(p)； b）如果mn, 用长除法将H(p) 化为真分式； c） H(p)部分分式； d） 根据H(p)部分分式的各项，写出单位冲激响应h(t)；,3）求单位冲激响应的一般步骤,求f(t)=(
9、t)时的零状态响应h(t)。,例1：已知描述某系统的微分方程为,答：,课件,33,课件,34,例2：已知描述系统的传输算子为：,求系统单位冲激响应h(t)，,答：,课件,35,求f(t)=(t)时的零状态h(t)。,例3：已知描述某系统的微分方程为,答：,课件,36,例4：已知图示电路的激励为f(t)=(t)，求零状态响应yf(t)。,解：先求H(p),课件,37,二、单位阶跃响应,求解方法：,激励为单位阶跃信号时系统的零状态响应.,一阶系统：三要素法高阶系统：经典法,2）,3） 卷积积分法（后面讲）,例5：求例1系统当f(t)=U(t)时的零状态y(t)。,解：,课件,38,2-6 卷积积分
10、,一、定义：,积分式：,称为函数 f1(t)与 f2(t) 的卷积，记作：,二、卷积积分的计算,1利用定义计算,2. 利用卷积的性质计算,3. 利用卷积积分表计算,4. 利用图解法计算,1),2),3）,4),5）,（折叠）,（平移）,（相乘）,（积分）,图解法示意说明,当t-1,当-1t1,当1t2,当2t4,三、卷积积分的性质,卷积结果与交换两函数的次序无关。,1交换律,2.分配律,3.结合律,4、f(t)与冲激信号卷积,5、f(t)与阶跃信号卷积,6、f(t)与单位冲激偶信号卷积,7、时移性,8、积分性,9、微分性,10、微积分性,注意：,用性质9和10时必须同时满足,例1：已知f1(t
11、)和f2(t)的波形，求y(t)= f1(t) f2(t),解：,（微积分性）,课件,46,例2：已知f1(t)和f2(t)的波形，求y(t)= f1(t) f2(t),解：,t-1,t,一、系统零状态响应,2-7 连续系统时域卷积分析法,y(t)=yx (t)+ yf (t),yx (t): 取决于系统自然频率和初始值,(t),h(t),(t-),f()(t-),f()h(t-),h(t-),yf (t): 取决于系统自然频率和激励,激励,响应,冲激响应：,（时不变性）,（齐次性）,（积分性）,零状态响应：,a）求传输算子H(p)； b）求单位冲激响应h(t) ； c） 计算卷积；,二、求零
12、状态响应的一般步骤,解：,1 求H(p),2 求单位冲激响应,图示电路，,例1:,求零状态响应i(t)。,3 计算卷积,波形图：,课件,50,例2：,解：,求h(t)。,例3：,求h(t)。,已知 f(t)=sintU(t)，,解：,例4：,已知 f(t)=e-t U(t), i1(0-)=2A, i2(0-)=0,解：,求t0时 uf(t) 、ux(t) 和u(t) 。,p,p,课件,53,（i1(0-)=2A, i2(0-)=0）,联接同一回路中的所有电感磁链在换路瞬间守恒,要求ux(t) 先求i1(0+), i2(0+),本章要点：,一、分析目的：,二、描述：,微分方程,传输算子,自然频
13、率,三、响应：,四、求法：,1）经典法,（直接解微分方程）,2）,自然频率,待定系数,3）,传输算子,部分分式,4）,卷积定义,卷积求法,卷积性质,课件,55,本章结束,课件,56,2、求解自然频率的特殊情况,1）独立电容与独立电感,2个独立电容,2个独立电感,uC1= uC2+uC3,iL1+iL2+iL3=0,系统自然频率的个数=系统中独立储能元件的个数,课件,57,2）系统变量的自然频率,3）系统的自然频率,在求解某一特定变量时出现的自然频率,系统中所有变量自然频率的集合,当系统变量的自然频率与系统的自然频率不相等时：,注意：,计算系统自然频率时不要漏掉零自然频率。,一、齐次微分方程时域解, 2-2 连续系统时域经典分析,1）自然频率全部为单根：,2）自然频率含重根： p1=p2=pr，其余单根,传输算子,其中：常数Ai有初始条件确定,课件,59,二、非齐次微分方程时域解,时域解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,1),x(t) yt(t),2),3) yt (t)中的待定系数求法：,x(t) yt（t）,将yt(t)代入原方程 比较方程两边相同项的系数,课件,61,
