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1、例1.某商场9月份电视机销售统计表,一、问题的提出,与数表对应,第一节 矩阵的概念,第二章 矩 阵,例2.线性方程组,与数表对应,上述问题必须引进一些新的概念，如矩阵概念.就矩阵概念而言，它是一个非常重要的概念，不仅应用于线性代数，而且深入数学、物理、计算机等学科领域中.,二、矩阵的定义,定义：m n个数aij (i=1, 2, , m; j=1, 2, , n)排成的矩形数表,称为m行n列矩阵，简称 矩阵， 称为矩阵A的第i行的第j列元素，元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.本书中讨论的矩阵如不特别声明，都是指实矩阵.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O，所有元素均为非
2、负数的称为非负矩阵，如果矩阵的行数与列数均为n，成为n阶矩阵，或n阶方阵。,矩阵A记为 或 ，在不引起混淆时简记为,mn矩阵有m行，n列,行下标,列下标,矩阵第 i 行第 j 列的元素表为：,定义2.2 如果两个矩阵A，B有相同的行数和列数，并且对应位置的元素相等，则称矩阵A和矩阵B相等，记为A=B。,思考：讨论n阶方阵与n阶行列式的区别与联系,第二节、矩阵运算,1、矩阵的和,（1）加法,即,A+B=,（2）减法,将矩阵 的各元素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为-A,称A+(-B) 为A与B的差，记为A-B，即,即,A-B=A+(-B) =,-A=,（3） 运算规律,结合律 （A
3、+B）+C=A+(B+C),交换律 A+B=B+A, A+（-A）=A-A=O,例1,2、矩阵的数乘,（1）定义 设是一个数, 是一 个矩阵,则矩阵称为数与矩阵A 的数乘矩阵,记为A（或A),即,A=,设A,B为 矩阵, 、 为常数,分配律 （A+B ）= A+ B（+）A=A+A,结合律（A）=（）A=（A）,（2)运算规律,例2 设A= ，B= ，求2A+B。,解,3、矩阵乘法,称为矩阵A与矩阵B的乘积, 记为,注意 只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，矩阵A与B才能相乘，乘积矩阵C的第i行第j列元素 等于A的第i行与B的第j列的对应元素乘积之和.例如要计算 ,就是用A的第2行各元素分别
4、乘以B的第3列相应的各元素，然后相加.用图表示即为：,简记为：C=AB,第i行j列,（2)矩阵A，B乘积的行数、列数间的关系是,用图示表示就是,=,m,s,s,n,m,n,例3 设A= ，B= ，求AB.,解 AB=,=,其中c11=11+11=2 c12=1(-1) +11=0c13=11+10=1 c21=01+11 =1c22=0(-1)+11=1 c23=01+10=0,所以 AB=,例4 求矩阵A与矩阵B的乘积AB及BA， 其中A=（0 1 -1） B=,解 A B=（0 1 -1）,B A=,= -2,( 0 1 -1 ) =,即矩阵乘法不满足交换律,例5 求矩阵A与B的乘积AB及
5、BA，其中,解,由AB=O，不能推出A=O，或者B=O,例6 设,解：因为A的列数等于B的行数，所以A与B可以相乘，其乘积是一个34的矩阵,21+32,2(2)+3(1),2(3)+30,20+31,11+(2)2,1(2)+(2)(1),1(3)+(2)0,10+(2)1,31+12,3(2)+1(1),3(3)+10,30+11,=,BA=？,则,例7 若,即,但,即矩阵乘法不满足消去律,对于n元线性方程组也可以用矩阵的乘法表示,令,则方程组可表示为,从以上例题可以看出，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA；也不满足消去律即AC=BC，不能推出A=B；A O，B O时，可以有A
6、B=O.因此由AB=O，不能推出A=O或B=O.这一点必须注意.,（3）运算规律,结合律（AB）C=A (BC）,分配律 A(B+C）=AB+AC(B+C) A=BA+CA, (AB) = (A)B=A (B),4、矩阵的乘幂,（1）定义 设A为n阶方阵，k为正整数，则k个A的乘积称为A的k次幂，记为Ak,即,k个,（2）运算规律,（其中k、l为正整数),例7 设A=,解,由例7，可得,，求A3 .,5、矩阵的转置,（1）定义 设 是一个 矩阵，把A的各行都变为列，不改变它们前后的顺序而得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A （或AT）即,A =,譬如,则,（2）运算规律,（其中为常数）,例8
7、设,解,所以,验证（AB） =B A ，并求A B ,或者，由,得,由例8可知，在一般情况下，,下面介绍一类与转置矩阵有关的一类矩阵.如果n,注意（1）只有方阵才谈得上是对称矩阵,阶方阵A满足 A =A即,则称A为对称矩阵.,如果A =-A，即,，则称A为反对称矩阵.,（2）如果A为实矩阵且A= A ，则称A为实对称矩阵,，因而,例9 设A，B为n阶对称矩阵，证明：AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.,证 必要性：设AB是对称矩阵，即(AB) =AB.又（AB) =B A =BA，所以AB=BA.充分性：设AB=BA，因为(AB) =BA =BA=AB，所以AB是对称矩阵.,证毕,6、矩
8、阵共轭,譬如,则,（2）运算规律,设A、B为复矩阵，为常数，则,四、思考题,1、两个同型矩阵一定可以相乘，对吗？ 2、(AB )2=A2B2，对吗？,解 1、不一定，如AB是23矩阵时，AB是无意义的.2、不对，因为矩阵乘法不满足交换律.,五、练习题,1、判断下列命题是否正确，如不正确，举例说明.,（1）若A2=0，则A=0 （2）若AB=0，则A=0或B=0 （3）若A2=A，则A=0或A=E （4）若AB=AC，则B=C,2、A=,3、计算下列矩阵乘积,（1）,（5）( AB ) =A B ,求A+B，2A-3B,B=,（2）,4、计算方阵的幂（其中n为正整数）,（1）,（2）,（3）,5
9、、设A=,6、设A是任意n阶方阵，证明：（1）A+A 是对称矩阵,（1）AB=BA （2）(A+B )2=A2+2AB+B2 （3）(A+B) (A-B）=A2-B2,是否成立.,问下列等式,，B=,（2）A-A 是反对称矩阵 （3）AA 是对称矩阵,7、已知A= f (x) =x2-5x+3,定义 f (A)=A2-5A+3E,试求f (A),六、练习题参考答案,1、（1） （2）（3）（4）（5）,2、 A+B= 2A-3B=,3、（1）,4、（1）,（2）,（2）,（3）,5、都不成立 6、提示：利用定义 7、,第三节 特殊矩阵,本节课介绍几种特殊矩阵，它们的 一些应用对我们求解问题有很
10、大的 帮助。,1、零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O注意：不同阶的零矩阵不同.,方阵的行列式,（1）定义 由n阶方阵 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记为,譬如,则,=-2,或detA.,注意:方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是由n2个数排成的n行n列的数表，而n阶行列式是一个数.,（2）运算规律,设A、B为n阶方阵，为常数，则,注意： （1）公式可以推广到有限个方阵乘积的情况，即,A= ，B= ，C= ，,（2）由可知，,，其中,这个公式称为行列式的乘积公式，它表明两个行列式的乘积可以像矩阵的乘积一样来计算.,（3）由公式 可得,（行列）,（列
11、列）,（列行）,（行行）,解 因为,所以,而,则,这样也有,同理,3、行矩阵、列矩阵,称为行矩阵,只有一列的矩阵,称为列矩阵,只有一行的矩阵,4、对角矩阵：,称为对角矩阵,除主对角线上元素外，其它,元素都为零的n阶方阵,记为,如果A,B同为同阶对角矩阵，则kA,A+B, AB仍为同阶对角矩阵。,5、数量矩阵：若对角矩阵A中的对角元素均相等时，称为n阶数量矩阵。即,以数量矩阵A左乘或者右乘（如果可乘）一 个矩阵B，其乘积等于以数a乘矩阵B。,6、单位矩阵：若n阶数量矩阵A中的元素a=1时，称其为n阶单位矩阵，记为 简记 为I(或E)。即,单位矩阵有以下性质：,7.三角形矩阵,8、同型矩阵：若两个
12、矩阵A、B的行列数相同，则称A、B为同型矩阵.,一、问题的提出,前章我们利用行列式展开定理，可以把高阶行列式转化为低阶行列式进行计算，本节我们可以利用分块矩阵把高阶矩阵的计算转化为低阶矩阵进行计算.,第四节 分块矩阵,二、分块矩阵定义,给定矩阵，若用一些穿过矩阵的横线与竖线把矩阵A分成若干小块，每个小块称为矩阵A的子块（或子矩阵），以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵.,例如,是一个分块矩阵，它有四个子矩阵.,注意(1) 分矩阵的横、竖线要贯穿整个矩阵.,(2) 一个矩阵的分块，可以是任意的，如上述矩阵还可以这样分块.,其中,三、分块矩阵的运算,由于分块矩阵的元素一般是子块(子矩阵) ，在进行运算
13、时，要求分块后的矩阵运算满足前两节矩阵运算的规律.,1、加法,设A、B都是 矩阵，将A、B按同样的方法分块，即,其中Aij、Bij都是 矩阵，则有,例1,设,则,2、数乘,设A是 矩阵，是数，将A分块后，有,3、乘法,设A为 矩阵，B为 矩阵，分块为,如果Aik的列数等于Bkj的行数(k=1,2,t）,则,其中子块,例2 设,求AB.,解 将A、B分成四块,其中,则,而,如果将矩阵A，x分块为,显然分块矩阵乘法比未分块的矩阵乘法要简单一些.,4、分块矩阵的转置,则,即分块矩阵的转置矩阵，不仅仅是把每个子块看作元素后对矩阵作转置，而且每个子块本身也要作转置.,例3,设,则,四、分块对角矩阵,1、
14、定义,如果将n阶方阵A分块后，有,其中Ai是ni阶方阵（i=1，2，s），则称A为分块对角矩阵。,2、性质,（2）若k为正整数，则,（3）,解 把矩阵分块得,则（1）,同结构的对角分块矩阵的和、积， 仍是对角分块矩阵。,同结构的上(或下)三角形分块矩阵的 和、积，仍是对角分块矩阵。,例5 设A=（aij），P=（pij）为n阶方阵，记P=（P1 P2 Pn），其中P1，P2， Pn为P的n个列，由分块矩阵的乘法，有,AP=A（P1 P2 Pn）= (A P1 AP2 A Pn）,五、思考题,（1）对于n阶方阵A、B，如果作相同的分块，则可作运算A+B，AB？,解 （1）可以作加法运算，但不一定
15、能作乘法运算AB.,如,这时，首先A11 B11是不符合乘法运算规律的.,六、练习题,1、设,试用矩阵分块法，求A+B，AB.,2、设,求（1） A （2）A 3（3）A3,七、练习题参考答案,1、,2、将A分块为,其中,（1） A =50 （2） A 3 =12500（3）,作业,14(2)(4)(6), 18, 21(1),本次作业座号为双号的同学上交， 单号同学由本学习小组批改，下次交作 业时检查完成情况！ 作业请于本周四之前交至仰光楼305处,一、问题的提出,前章我们利用行列式展开定理，可以把高阶行列式转化为低阶行列式进行计算，本节我们可以利用分块矩阵把高阶矩阵的计算转化为低阶矩阵进行计算.,
