利息理论 统计与金融数学系 (陈萍)

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1、1,利 息 理 论,开课系：理学院 统计与金融数学系 教师: 陈萍 e-mail: Probstat ,参考书：利息理论 S .G.Kellison著 尚汉冀译 上海科学技术出版社,2,第一章 利息的度量,积累函数与金额函数 利率 现时值 名义利率与名义贴现率 利息效力与贴现效力,在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。,定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货

2、币使用权所得的报酬。,利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。,4,1.1积累函数与金额函数,一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时间后收回的总金额称为积累值。,积累值=本金+利息,假定：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻积累值均可确定，且设在投资期间内不再加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由利息效应产生的。自融资,5,定义 考虑一单位本金，记原始投资为1时在任何时刻的积累值为a(t)，称为积累函数。,a(t)的性质： a(0)=1; a(t)通常为增函数； 当利息连续增加时，a(t)为连续函数。,

3、典型积累函数:,6,定义 A(t)=ka(t)称为金额函数，它给出原始投资为k时在时刻t=0的积累值。,记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为In.则 In=A(n)-A(n-1) (1.1.2),注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期为一年,以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0),例1.1.1.考虑金额函数 a)确定对应的积累函数a(t) b)检验a(t)是否满足积累函数的三条性质 c)找出In 解:,8,1.2.利率,1.2.1.实质利率,定义 实质利率i是指在某一时期开始时投资1单位本金时，在此时期内应获得的

4、利息。,如：一年期存款，年利率i=2.25%, 故a(1)=1+2.25% 本金100元，年末积累值为100(1+2.25%)=102.25元,注（1)实质利率常用百分比表示。 （2）本金在整个时期内视为常数 （3)实质利率是一种度量，其中利息在期末支付。它可用金额函数确定如下： i=A(1)-A(0)/A(0)=I1/A(0),这就可以给出另一个定义： 定义 实质利率i是某时期内得到的利息金额与此时期开始时投资的本金额之比。,实质利率可以对任何度量的时期进行计算。设in为从投资之日算起第n个时期的实质利率，则 in=A(n)-A(n-1)/A(n-1)=In/A(n-1) n1,例1.2.1

5、. 证明A(n)=(1+in)A(n-1),1.2.2. 单利,定义 若考虑投资1单位本金，在每一时期中得到的利息为常数，其积累函数则为线性的。 a(t)=1+it 对整数 t0 这种类型产生的利息为单利。,例1.2.2. a) 如500元存款在5年内积累到590元，单利利率为多少？b)500元按3.6%的单利要经过多少年可积累到600元？ 解:a)设单利利率为i, 则,b)设要经过x年积累,则,练习1.如果1000元以某一单利利率经过某一长度的时期积累到1100元，试确定500元以该单利利率的3/4倍的利率经两倍长的时期的积累值。 练习2. 查出目前市面流通或发行的国债，计算其利率。与同期存

6、款利率进行比较。,13,1.2.3. 复利,定义 复利的积累函数是 a(t)=(1+i)t 对整数t0,单利与复利的异同 (1)单利与复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时期，复利比单利产生较大的积累值，而对较短的时期则相反。 (2)增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即 对单利：a(t+s)-a(t)不依赖于t 对复利：a(t+s)-a(t)/a(t)不依赖于t,例1.2.5.某人有1000元准备存款5年，现有两种存款方式：1)按年利率5.85%的单利。2)按年利率5.27%的复利；问哪种存款所得积累值较多？

7、解:,故按年利率5.27%的复利存款所得积累值较多.,某人有10000元本金，准备存款5年，请提供存款方案,并分析按那种方案所得积累值较多？ 参考：人民币存款利率表：,EX,16,1.3 现时值,1.3.1.现时值,考虑这样的问题：一笔十年后付1000元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算?,定义.称一单位金额在t时期前的值或t时期末一单位金额在现在的值为t时期现时值。 记对应实质利率i,称v=1/(1+i)为贴现因子。（相应的1+i称为积累因子）,17,上述结果扩展到不止一个时期，也就是说要确定某人在时期开始时应投资多少才能在t时期末积

8、累到金额1。,定义 称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。代表在t时期末的1单位金额的现时值。,例1.3.1.五年期国债，面值为100元，按贴现发行，若i=6.42%,则其发行价应为多少？ (1)按单利.(2)按复利 解:,注 一时期内金额的改变可以称为“利息”，也可以称为“贴现”，但两者意义不同。 利息本金基础上的增加额，在期末支付，其计算的依据为期初余额。 贴现积累值基础上的减少额，在期初支付，其计算的依据是期末余额。,用实质利率i可以很方便地计算：利息=本金*i 也希望有类似的参数d，使：贴现=期末值*d 参数d就是贴现率。,EX.已知$500的投资在第30年末将增长到$4000,求在

9、第20年，40年，60年末各付款$10000的现时值之和。,19,1.3.2.实质贴现率,定义 称 为1时期的实质贴现率。,例1.3.2 假设某人A到银行以实质贴现率6%借100元，为期1年，一年后A还给银行100元。则1)银行实际付给A多少元？2)这相当于实质利率是多少的贷款？ 解:,显然,推广到n个时期有 a-1(t)=(1-d)t t0 (1.3.1) 称满足(1.3.1)的d为复贴现率.,定义 称两个贴现率或利率等价，如果对给定的投资金额，在同样长的时期内两者产生同样的积累值,例1.3.2 求证：若a(t)=(1+i)t ，则在各时期内等价的实质贴现率为常数，,(1.3.2),d与i之

10、间的几种变形有一些有趣的字面解释： d=i/(1+i) - 期初投资1，在1时期末赚得的利息i按贴现因子贴现到期初即为贴现率d。 1/(1+i) =1-d - 此方程两边均表示在期末支付1的现时值。 i-d=id -某人可借贷1而在期末归还1+i，也可以借贷1-d而在期末归还1 。表达式i-d是所付利息的差额，此种差额是因为所借本金相差d而产生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.,22,1.4. 名义利率与名义贴现率,1.4.1.名义利率,在实际金融业务中，常会遇到这样的说法：“年利10%,半年结算一次”、“季度复利10%”或“月度复利10%”等等。 由于一年内结算次数不同产生了利率的

11、“名不副实”，原来给定数据10%就是名义利率。,定义 记i(m)为每一时期付m次的名义利率，其中m1,m为整数。,注:所谓名义利率i(m)指每1/m时期支付一次的利率，也就是说，对于每1/m时期，一本金的利息是i(m)/m而不是i(m)。,定义 利息支付及再投资以赚取额外利息的周期称为“利息转换时期”,1.4.2.名义利率与实质利率的关系,设一时期的名义利率为i(m),与之等价的实质利率为i，则应有1+i=(1+i(m)/m)m。 于是有 或,例1.4.1.贷款人A开价年实质利率为9%,贷款人B开价季度复利8.75%，而贷款人C开价月度复利8.5%。某人需要为期一年的贷款，问谁的贷款好？ 解:

12、对B:,对C:,故C的贷款好.,1.4.3. 名义贴现率,定义 每一时期支付m次的名义贴现率记作d(m).表示每1/m 时期支付d(m)/m 的实质贴现率。,例1.4.2.试确定100元在两年之末的积累值。 A)如果名义利率为季度转换6%. B)如果名义贴现率为季度转换6%. 解:,设积累值为x,则,26,1.4.4名义利率与名义贴现率之间的关系,考虑,与,(1.4.1),如果m=p,则,(1.4.2),将(1.4.2)式两端同乘以（1-d(m)/m)得,(1.4.3),它表明每一利息转换时期内利息与贴现的差额是因为期初本金相差d(m)/m产生的。金额d(m)/m依利率i(m)/m在该利息转换

13、时期末的利息就是(i(m)/m)(d(m)/m)。,EX1.确定季度转换的名义利率使它等价于月度转换6%的名义贴现率。,EX2.证明i(m)=d(m)(1+i)1/m,并按字面解释之。,28,1.5 利息效力与贴现效力,1.5.1.利息效力,利息效力描述利息在时刻t的运行强度，它与资金金额无关，定义为,(1.5.1),称为时刻t的利息效力。,29,可用t描述A(t)或a(t)。,或,(1.5.3),EX 求单利的利息效力。,(1.5.2),利息效力在理论上可以随时变化。然而在实际中它经常保持为常数。如果利息效力在某时间区间上为常数，则实质利率在此区间上也为常数。这可在n个度量时期上用公式(1.

14、5.2)而得。,(1.5.4a),所以,或,(1.5.4b),31,1.5.2.贴现效力,类似于 定义贴现效力为 ，,负号是为了保证此式 为正，但可证明 ,故只用t就足够了。,32,利 息 理 论,开课系：理学院 统计与金融数学系 教师: 陈萍 e-mail: Probstat ,参考书：利息理论 S .G.Kellison著 尚汉冀译 上海科学技术出版社,33,第二章 常见利息问题,常见利息问题 收益率 基金收益的计算 资金预算 一般借贷模型,34,2.1常见利息问题,按照国外多数银行的做法，计息方式采用整数时期计复利，分数时期计单利的做法。 如要计算1单位本金在m+x时期内的积累值，其中m

15、为整数、x为分数，0x1,则,类似有,35,一个利息问题包含四个基本的量：1.原始投资的本金.2.投资时期的长度。3.利率。4.本金在投资期末的积累值。,解求值方程的有力工具-时间图,上图表示某人先取得(借贷)500元，按分期付款偿还.第一、二、三时期末各付100元，第四时期末需付多少？符号 表示比较日期。,36,未知时间问题,有时会出现这种情况，需找出一个时刻，使在这个时刻上的一次付款等于在不同时刻的几次付款。,例2.1.1.预定在第2, 3, 8年末分别付款100元、200元、和500元，假设实质利率为5%，试确定一个一次付款800元的时刻，使它与前几次付款等价。 解:设在t时刻付款,上述

16、问题可一般叙述为：设在时刻t1,t2,tn分别付出金额s1,sn,求时刻t，使在该时刻付出 等价于上述分次付款。其求值方程为,这种方法求t也叫精确方法。在实际中，为计算方便，t经常用各个付款的加权平均来近似计算，其中权取为各次付款的金额，即,称为等时间法。可以证明,换言之，用等时间法的现时值小于真实的现时值。,39,未知利率问题,例2.1.2. 1000元要在6年内积累到1600元，季度转换利率应取多少？ 解:,例2.1.3.如果现在投资1000元，3年后再投资2000元，问半年度转换利率应取多少才能使在10年后积累到5000元？ 解:,解,40,此类问题的一般提法是，已知一系列的投资或收入资金流：x1,x2,xn,分别代表t1,t2,tn时刻的投资。求这一资金流的实质利率 收益率。其求值方程为,EX3 某人有1万元本金，按照如下方案存款5年.先按照2.25%的单利存款一年;到期取出,再按照2.7%的单利存款两年;到期取出, 再按照2.6%的单利存款两年.问相当于按年实质利率多少的复利存款?,