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1、概率论与数理统计,陈 静,E-mail: chenjing_ Mobile: 13795772226,概率论,一、 概率论的基本概念,二、 随机变量及其分布,三、 多维随机变量及其分布,四、 随机变量的数字特征,五、 大数定律和中心极限定理,第一章 概率论的基本概念,序言,概率论起源于博奕问题.15、6世纪有人提出“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题.1654年左右费马和帕斯卡在通信中讨论了类似的合理分配赌金问题, 并用组合方法给出正确解释. 稍后荷兰数学家惠更斯发表了【论赌博中的计算】一文, 这是最早的概率论著作. 这些著作中出现了第一批概率论概念(如数学期望)与定理(如概率加
2、法,乘法定理), 它们标志着概率论的诞生. 当时所研究的模型比较简单, 称之为古典概型, 所用的工具也是比较基础的排列组合等代数方法. 目前实际问题仍以“赌”为模型,如保险业务的开设、奖券的发放等.,1.起源及研究背景,如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和染色 体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样，自然界中的不定性是固有的. 这些与其说是基于决定论的法则，不如说是基于随机论法则的不定性现象，已经成为自然科学、生物科学和社会科学理论发展的必要基础.,在我们所生活的世界上, 充满了不确定性. 从扔硬币、掷骰 子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物
3、的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变 万化，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.,2研究内容,特点 1 当人们在一定的条件下对不定性现象加以观 察或进行试验时,观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其结果.,首先我们来考察一下不定性现象的特点,例如: 在相同的条件下抛同一枚硬币, 其结果可能是正面朝上, 也可能是反面朝上, 并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么.,又如:一门火炮在一定条件下向同一目标进行射击,各次的弹着点不尽相同,在一次射击之前无法预测弹着点的确切位置.,例如:一门火炮在一定条件下进行射击,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的
4、误差, 但大量炮弹的弹着点则表现出一定的规律性,如一定的命中率,一定的分布规律等等.,又如:在一个容器内有许多气体分子,每个气体分子的运动存在着不定性,无法预言它在指定时刻的动量和方向.但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性,如在一定的温度下,气体对器壁的压力是稳定的,呈现“无序中的规律”.,特点 2 不定性现象在大量重复观察或试验下，它的 结果却呈现出固有规律性.,在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复 观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象,称为随 机现象.,-统计规律性,具有统计规律性,概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科.,1 随机试验,研究随机现象,首先
5、要对研究对象进行观察试 验.这里的试验是一个含义广泛的术语. 它包括各 种各样的科学试验, 甚至对某一事物的某一特征 的观察也认为是一种试验.,E1：抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,几个具体试验,上述试验具有下列共同的特点:,(1)试验可以在相同的条件下重复进行;(可重复性),(2)每次试验的可能结果不止一个, 并且能
6、事先明确试验的所有可能的结果;(可观察性),(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.(随机性),在概率论中将具有上述特点的试验称为随机试验.,用 表示随机试验.,2 样本空间、随机事件,一、样本空间对于随机试验, 尽管在每次试验之前不能预知试验的结果, 但试验的所有可能的结果组成的集合是已知的, 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间, 记为S 或 . 样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点，记作e或 .一般写作S=e,S1 : H , T S2 : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT S3 : 0, 1, 2, 3
7、S4 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 S5 : 0,1,2,3 S6 : t | t 0 S7 : ( x , y ) | T0 x , y T1 ,样本空间的元素是由试验的目的所确定的.,试验 的样本空间 的子集称为 的随机事件.,二、随机事件,(相对于观察目的不可再分解的事件),事件,例：在S2 中, 事件 A= HHH , HHT , HTH , HTT表示 “第一次出现的是正面”；在S6 中，事件 B1= t | t 1000 表示 “灯泡是次品”；事件 B2= t | t 1000 表示 “灯泡是合格品” ； 事件 B3= t | t 1500 表示“灯泡是一级品” 。,在掷骰
8、子试验中，,“掷出点数8”则是不可能事件.,“掷出点数小于7”是必然事件;,三、事件间的关系与事件的运算,事件B = 掷出点数为2,3,事件 A=掷出奇数点,事件C = 掷出点数为4,试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数,注意：,（1）在一次试验中，各基本事件是互不相容的,（2）,事件A、B、C互不相容,试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数,事件B = 掷出点数为2,3,事件 A=掷出奇数点,事件C = 掷出点数为4,而事件 A、B,相容,两事件A、B互不相容：,两事件A、B互逆或互为对立事件,即A与B不可能同时发生.,除要求 外，还要求,事件的运算满足的规律,7 完备事件组,若事件A1 A2 An为两两互不相容的事件 并且A1A2 AnS 则称A1 A2 An构成一个完备事件组.,（1）只有第一枪击中；,（2）至少有一枪击中；,（4）三枪都未击中；,（3）至少有两枪击中；,解,（4）三枪都未击中可表示为：,（3）至少有两枪击中可表示为：,四、小结,样本空间和随机事件的定义事件间的关系与事件的运算,那么要问: 如何求得某事件的概率呢? 下面几节就来回答这个问题.,研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是,事件的概率,
