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1、,22.1 比例线段,第22章 相似形,优 翼 课 件,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学练优九年级数学上(HK)教学课件,第3课时 比例的性质与黄金分割,1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质;(重点) 2.能运用比例的性质进行相关计算,能通过比例变形解决一些实际问题.(难点) 3.知道并理解黄金分割的定义,熟记黄金比,能对黄金分割进行简单运用(重点、难点),学习目标,导入新课,观察与思考,如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片,(2)是由(1)缩小得到的.,在照片(1)中任意取四个点P,Q,A ,B在照片(2)找出对应的两个点P,Q,A, B量出线段PQ,PQ,AB, AB的长度
2、.计算它们的长度的比值.,A,A,B,B,讲授新课,合作探究,问题1:如果四个数a , b, c, d成比例,即 那么 ad = bc吗?反过来如果ad = bc,那么a , b, c , d四个数成比例吗?,如果四个数a,b,c,d成比例,即 那么ad=bc吗?,在等式两边同时乘以bd,得ad=bc,由此可得到比例的基本性质:,如果 ,那么 ad=bc.,由此可得到比例的基本性质:,如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么 .,如果ad=bc,那么等式 还成立吗?,在等式中,四个数a,b,c,d可以为任意数,而在分式中,分母不能为0.,典例精析,例1:根据下列条件,求 a : b 的
3、值:,(1) 4a=5b ;,(2),(2) ,8a=7b,,解 (1) 4a=5b,,例2:已知 ,求 的值. 解:解法1:由比例的基本性质, 得 2(a+3b)=72b. a=4b, = 4. 解法2:由 ,得 . ,16,还有什么其他性质吗?,在等式两边同时加上1,得,由此可得到比例的合比性质:,如果 ,那么,问题2:已知a , b, c, d, e, f 六个数,如果 (b+d+f0),那么 成立吗?为什么?,设 ,则a = kb, c = kd , e= kf .所以,由此可得到比例的又一性质:,例3:在ABC与DEF中,已知 ,且ABC的周长为18cm,求DEF得周长.,解:4(A
4、B + BC + CA)=3(DE + EF + FD).即 AB+BC+CA = (DE+EF+FD) ,又 ABC的周长为18cm, 即 AB+BC+CA=18cm. DEF的周长为24cm.,例4:若a,b,c都是不等于零的数,且,求k的值.,得 , 则k2; 当abc0时,则有abc. 此时 综上所述,k的值是2或1.,解:当abc0时,由 ,,一个五角星如下图所示. 问题:度量C到点A、B的距离, 与 相等吗?,A,C,B,A,B,C,A,B,C,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.,概
5、念学习,1.计算黄金比.,解:由 ,得AC2 = ABBC.设AB = 1,AC = x,则BC = 1 x. x2 = 1 (1 - x). 即 x2 + x 1 = 0. 解方程得:x1= x2= 黄金比,做一做,2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图: 1.经过点B作BDAB,使BD= AB 2.连接AD,在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE.,思考:点C是线段AB的黄金分割点吗?,巴台农神庙 (Parthenom Temple),想一想:如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD,以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD,那么我们可以惊奇地发现 ,
6、 点E是AB 的黄金分割点吗?矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗?为什么?,点E是AB的黄金分割点,(即 )是黄金比,矩形ABCD的宽与长的比是黄金比,宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.,例5:在人体躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m,她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美?,解:设肚脐到脚底的距离为 x m,根据题意,得,解得x = 0.96.设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美,则 解得 y0.075,而0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更
7、美.,1.在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比,已知这本书的长为20 cm,则它的宽约为( ) (A)12.36 cm (B)13.6 cm (C)32.36 cm (D)7.64 cm 【解析】选A. 0.61820=12.36(cm).,A,练一练,2.如图是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割,已知AB=10 cm,则AC的长约为_cm.(结果精确到0.1 cm)【解析】本题考查黄金分割的有关知识,由题意知 AC2=(10-AC)10,解得AC6.2 cm.,6.2,3.如图所示,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A、B固定在乐器板面上,支撑
8、点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则AC=_cm,DC=_cm.【解析】由黄金分割定义可知, AC=BD= AB=(40 -40)cm, AD=AB-BD=(120-40 ) cm, 所以DC=AC-AD=(80 -160) cm.,打开地图,你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”,产地在安徽的祁门,也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰,名川秀水的黄山,庐山,九寨沟等等。 衔远山,吞长江的中国三大 淡水湖也恰好在这黄金分割 的纬度上。,大自然与黄金分割,图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.61
9、8.,蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近0.618;,人与黄金分割,人体肚脐不但是黄金点美化身型,有时还是医疗效果黄金点,许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23(体温),也是正常人体温(37)的黄金点(23=370.618).这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点:肚脐上部分的黄金点在咽喉,肚脐以下部分的黄金点在膝盖,上肢的黄金点在肘关节.上肢与下肢长度之比均近似0.618.,在人的面部,五官的分布越符合黄金分割,看起来就越美,设计与黄金分割,文明古国埃及的金字塔,形似方锥,大小各异.但这些金字塔底面的边长与高
10、的比都接近于0.618.,东方明珠塔,塔高468米.设计师在263米处设计了一个球体,使平直单调的塔身变得丰富多彩,非常协调、美观.,人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割. 美神维纳斯,她身体的各个部位都暗藏比例0.618,虽然雕像残缺,却能仍让人叹服她不可言喻的美,黄金分割的魅力,Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6,而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码,这里就要同学们自己去发现。,1.(1)已知 ,那么 = , = .,(3)如果 ,那么 .,(2)如果 那么 .,当堂练习,2.已知线段AB,点P是它的黄金分割点,AP
11、BP,设以AP为边的正方形的面积为S1,以PB、AB为边的矩形面积为S2,则S1与S2的关系是( ) AS1S2 BS1S2 CS1=S2 DS1S2,C,5.小明家搬进了新房,他买了一幅山水画,想挂到书房(书房高3米),请你帮他设计一下,挂在多高能给人赏心悦目的感觉?,4.点C是线段AB的黄金分割点,如果AB=4,求线段 AC的长度,AC=40.618=2.472 或者 AC=4(1-0.618)=1.518.,离地面的高度 h=30.618=1.854m,6. 如图:在ABC中,AB=AC, BAC=36, BD平分ABC交AC于点D, 求证:D是AC的黄金分割点.,证明:在等腰ABC中,
12、顶角A=36, 所以ABC=C=72, BD为ABC的平分线, ABD=DBC=36, 在ACB和BCD中,BDC=72 C=C,A=CBD=36, ACBBCD, AC:BC=BC:DC;,DBC=36,C=72, BDC=72, BD=BC, AD=BC, AC:AD=AD:DC; 即点D是AC的黄金分割点,A=ABD, AD=BD.,7.如图,设AB是已知线段,在AB上作正方形ABCD;取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB;以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.,解: 设AB=1,那么在 RtBAE 中,比例的 性质,如果 那么 ad = bc,基本 性质,等比 性质,如果ad = bc(a , b, c, d)都不等于0, 那么,课堂小结,黄金分割,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.,课堂小结,一条线段有两个黄金分割点,黄金比:较长线段:原线段 =,定义,见学练优本课时练习,课后作业,